Equazioni differenziali – Autovalori e autofunzioni
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Sezione 8-2: Autovalori e autofunzioni
Come abbiamo fatto nella sezione precedente, dobbiamo di nuovo notare che daremo solo un breve sguardo all’argomento degli autovalori e autofunzioni per problemi di valori limite. Ci sono parecchie idee che non esamineremo qui. L’intento di questa sezione è semplicemente quello di darvi un’idea dell’argomento e di fare abbastanza lavoro per permetterci di risolvere alcune equazioni differenziali parziali di base nel prossimo capitolo.
Ora, prima di iniziare a parlare dell’effettivo argomento di questa sezione ricordiamo un argomento di Algebra Lineare che abbiamo brevemente discusso in precedenza in questi appunti. Per una data matrice quadrata, \(A\), se potevamo trovare valori di \(\lambda \) per i quali potevamo trovare soluzioni non nulle, cioè \(\vec x \ne \vec 0\), a,
\
allora chiamavamo \(\lambda \) un autovalore di \(A\) e \(\vec x\) era il suo corrispondente autovettore.
E’ importante ricordare che, affinché \(\lambda \) sia un autovalore, dobbiamo essere in grado di trovare soluzioni non nulle all’equazione.
Quindi, cos’ha a che fare questo con i problemi dei valori limite? Torniamo alla sezione precedente e diamo un’occhiata all’esempio 7 e all’esempio 8. In questi due esempi abbiamo risolto dei BVP omogenei (e questo è importante!) nella forma,
\
Nell’Esempio 7 avevamo \(\lambda = 4\) e abbiamo trovato soluzioni non banali (cioè non nulle) al BVP. Nell’esempio 8 abbiamo usato \(\lambda = 3\) e l’unica soluzione era la soluzione banale (cioè \(y\left( t \right) = 0\)). Quindi, questo BVP omogeneo (ricordiamo che questo significa anche che le condizioni al contorno sono zero) sembra mostrare un comportamento simile a quello dell’equazione matriciale di cui sopra. Ci sono valori di \(\lambda \) che daranno soluzioni non banali a questo BVP e valori di \(\lambda \) che ammettono solo la soluzione banale.
Quindi, per quei valori di \(\lambda \) che danno soluzioni non banali chiameremo \(\lambda \) un autovalore della BVP e le soluzioni non banali saranno chiamate autofunzioni della BVP corrispondenti all’autovalore dato.
Ora sappiamo che per il BVP omogeneo dato in \(\eqref{eq:eq1}}) \(\lambda = 4\) è un autovalore (con autofunzioni \(y\sinistra( x \destra) = {c_2}sin \sinistra( {2x} \destra)\)) e che \(\lambda = 3\) non è un autovalore.
Eventualmente cercheremo di determinare se ci sono altri autovalori per \(\eqref{eq:eq1}\), tuttavia prima di farlo commentiamo brevemente perché è così importante che la BVP sia omogenea in questa discussione. Nell’Esempio 2 e nell’Esempio 3 della sezione precedente abbiamo risolto l’equazione differenziale omogenea
\5326>con due diverse condizioni al contorno non omogenee nella forma, \5326>In questi due esempi abbiamo visto che semplicemente cambiando il valore di \(a\) e/o \(b\) siamo stati in grado di ottenere o soluzioni non banali o di non forzare nessuna soluzione. Nella discussione degli autovalori/funzioni proprie abbiamo bisogno che le soluzioni esistano e l’unico modo per assicurare questo comportamento è richiedere che anche le condizioni al contorno siano omogenee. In altre parole, abbiamo bisogno che la BVP sia omogenea.
C’è un ultimo argomento che dobbiamo discutere prima di passare all’argomento degli autovalori e delle autofunzioni e questo è più di un problema di notazione che ci aiuterà con alcuni dei lavori che dovremo fare.
Supponiamo di avere un’equazione differenziale del secondo ordine e che il suo polinomio caratteristico abbia due radici reali e distinte e che siano nella forma
\
Allora sappiamo che la soluzione è,
\
Mentre non c’è nulla di sbagliato in questa soluzione, facciamo una piccola riscrittura di questo. Inizieremo dividendo i termini come segue,
\
Ora aggiungeremo/sottrarremo i seguenti termini (nota che stiamo “mischiando” i termini \({c_i}) e \( \pm \,\alpha \) nei nuovi termini) per ottenere,
\
Poi, riorganizziamo un po’ i termini,
\5326>Infine, le quantità tra parentesi sono fattorizzate e spostiamo anche la posizione della frazione. Facendo questo, oltre a rinominare le nuove costanti otteniamo, \
Tutto questo lavoro probabilmente sembra molto misterioso e inutile. Tuttavia c’era davvero una ragione per farlo. In effetti, potreste aver già visto la ragione, almeno in parte. Le due “nuove” funzioni che abbiamo nella nostra soluzione sono in effetti due delle funzioni iperboliche. In particolare,
\
Quindi, un altro modo di scrivere la soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine il cui polinomio caratteristico ha due radici reali e distinte nella forma \({r_1} = \alpha ,\,\,{r_2} = – \alpha \) è,
\
Avere la soluzione in questa forma per alcuni (in realtà la maggior parte) dei problemi che esamineremo ci renderà la vita molto più facile. Le funzioni iperboliche hanno alcune proprietà molto belle di cui possiamo (e vogliamo) approfittare.
Prima di tutto, dato che ne avremo bisogno più avanti, le derivate sono,
\
Poi diamo un’occhiata veloce ai grafici di queste funzioni.
Nota che \(\cosh \sinh \sinistra( 0 \destra) = 1\) e \(\sinh \sinistra( 0 \destra) = 0\). Poiché lavoreremo spesso con condizioni al contorno a \(x = 0\) queste saranno valutazioni utili.
Poi, e forse più importante, notiamo che \(\cosh \sinistra( x \destra) > 0\) per tutti \(x\) e quindi il coseno iperbolico non sarà mai zero. Allo stesso modo, possiamo vedere che \sinh \sinistra( x \destra) = 0\) solo se \(x = 0\). Useremo entrambi questi fatti in alcuni dei nostri lavori, quindi non dobbiamo dimenticarli.
Ok, ora che abbiamo tolto tutto questo di mezzo, facciamo un esempio per vedere come si fa a trovare autovalori/ autofunzioni per una BVP.
Abbiamo iniziato questa sezione guardando questo BVP e conosciamo già un autovalore (\(\lambda = 4\)) e conosciamo un valore di \(\lambda \) che non è un autovalore (\(\lambda = 3\)). Mentre procediamo con il lavoro qui abbiamo bisogno di ricordare che otterremo un autovalore per un particolare valore di \(\lambda \) se otteniamo soluzioni non banali del BVP per quel particolare valore di \(\lambda \).
Per sapere che abbiamo trovato tutti gli autovalori non possiamo semplicemente iniziare a provare a caso valori di \(\lambda \) per vedere se otteniamo soluzioni non banali o no. Fortunatamente c’è un modo per farlo che non è troppo brutto e ci darà tutti gli autovalori/funzioni autoctone. Dovremo però fare alcuni casi. I tre casi che dovremo esaminare sono : \(\lambda > 0\), \(\lambda = 0\), e \(\lambda < 0\). Ognuno di questi casi dà una forma specifica della soluzione della BVP alla quale possiamo poi applicare le condizioni al contorno per vedere se otterremo soluzioni non banali o meno. Quindi, cominciamo con i casi.
(\underline {\lambda > 0} \)
In questo caso il polinomio caratteristico che otteniamo dall’equazione differenziale è,
\
In questo caso poiché sappiamo che \(\lambda > 0\) queste radici sono complesse e possiamo scriverle invece come,
\
La soluzione generale dell’equazione differenziale è quindi,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Quindi, tenendo conto di questo e applicando la seconda condizione al contorno otteniamo,
\
Questo significa che dobbiamo avere una delle seguenti,
\
Tuttavia, ricordiamo che vogliamo soluzioni non banali e se abbiamo la prima possibilità avremo la soluzione banale per tutti i valori di \(\lambda > 0\). Pertanto, supponiamo che \({c_2} \ne 0\). Questo significa che abbiamo,
\5326> In altre parole, sfruttando il fatto che sappiamo dove il seno è zero possiamo arrivare alla seconda equazione. Notate anche che poiché stiamo assumendo che \(\lambda > 0\) sappiamo che \(2\pi \sqrt \lambda > 0\)e quindi \(n\) può essere solo un intero positivo per questo caso.
Ora tutto quello che dobbiamo fare è risolvere questo per \(\lambda \) e avremo tutti gli autovalori positivi per questo BVP.
Gli autovalori positivi sono quindi,
\
e le autofunzioni che corrispondono a questi autovalori sono,
\
Nota che abbiamo messo un pedice \(n\) sugli autovalori e sulle autofunzioni per denotare il fatto che ce n’è uno per ciascuno dei valori dati di \(n\). Notate anche che abbiamo eliminato il \({c_2}\ sulle autofunzioni. Per le autofunzioni siamo interessati solo alla funzione stessa e non alla costante che la precede e quindi generalmente la lasciamo perdere.
Passiamo ora al secondo caso.
(\sottolinea {lambda = 0} \)
In questo caso la BVP diventa,
\
e integrando l’equazione differenziale un paio di volte si ottiene la soluzione generale,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Applicando la seconda condizione al contorno e i risultati della prima condizione al contorno si ottiene,
\
Qui, a differenza del primo caso, non abbiamo una scelta su come rendere questo zero. Questo sarà zero solo se \({c_2} = 0\).
Quindi, per questo BVP (e questo è importante), se abbiamo \(\lambda = 0\) l’unica soluzione è la soluzione banale e quindi \(\lambda = 0\) non può essere un autovalore per questo BVP.
Ora guardiamo il caso finale.
\(\sottolinea {\lambda < 0} \)
In questo caso l’equazione caratteristica e le sue radici sono le stesse del primo caso. Quindi, sappiamo che,
\5326>Tuttavia, poiché stiamo assumendo \(\lambda < 0\) qui queste sono ora due radici reali distinte e quindi usando il nostro lavoro sopra per questi tipi di radici reali e distinte sappiamo che la soluzione generale sarà, \5326>Nota che avremmo potuto usare la forma esponenziale della soluzione qui, ma il nostro lavoro sarà significativamente più facile se usiamo la forma iperbolica della soluzione qui.
Ora, applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Applicando la seconda condizione al contorno si ottiene,
\5326>Poiché stiamo assumendo \(\lambda < 0\) sappiamo che \(2\pi \sqrt { – \lambda } ne 0\) e quindi sappiamo anche che \(\sinh \sinistra( {2\pi \sqrt { – \lambda } \destra) \ne 0\). Quindi, proprio come nel secondo caso, dobbiamo avere \({c_2} = 0\).
Quindi, per questo BVP (anche questo è importante), se abbiamo \(\lambda < 0\) otteniamo solo la soluzione banale e quindi non ci sono autovalori negativi.
In sintesi quindi avremo i seguenti autovalori/ autofunzioni per questo BVP.
\
Diamo un’occhiata ad un altro esempio con condizioni al contorno leggermente diverse.
Qui lavoreremo con condizioni al contorno derivate. Il lavoro è praticamente identico all’esempio precedente, tuttavia, quindi non ci metteremo così tanti dettagli qui. Avremo bisogno di esaminare tutti e tre i casi proprio come l’esempio precedente, quindi cominciamo a farlo.
\(\sottolinea {lambda > 0} \)
La soluzione generale dell’equazione differenziale è identica all’esempio precedente e quindi abbiamo,
\5326>Applicando la prima condizione al contorno si ottiene, \5326>Ricordo che qui stiamo assumendo che \(\lambda > 0\) e quindi questo sarà zero solo se \({c_2} = 0\). Ora, la seconda condizione al contorno ci dà, \
Ricordo che non vogliamo soluzioni banali e che \(\lambda > 0\) quindi otterremo solo soluzioni non banali se richiediamo che,
\
Solvendo per \(\lambda \) e vediamo che otteniamo esattamente gli stessi autovalori positivi per questo BVP che abbiamo ottenuto nell’esempio precedente.
\
Le autofunzioni che corrispondono a questi autovalori però sono,
\5326>Quindi, per questo BVP otteniamo coseni per autofunzioni corrispondenti ad autovalori positivi.
Ora il secondo caso.
(\sottolinea {lambda = 0} \)
La soluzione generale è,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Utilizzando questo la soluzione generale è allora,
\
e si noti che questo soddisfa banalmente la seconda condizione al contorno,
\
Quindi, a differenza del primo esempio, \(\lambda = 0\) è un autovalore per questo BVP e l’autofunzione corrispondente a questo autovalore è,
\
Anche in questo caso, si noti che abbiamo abbandonato la costante arbitraria per le autofunzioni.
Finalmente occupiamoci del terzo caso.
(\sottolinea {lambda < 0} \)
La soluzione generale qui è,
\
Applicando la prima condizione al contorno dà,
\5326>Applicando la seconda condizione al contorno dà, \5326>Come per l’esempio precedente sappiamo di nuovo che \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) e quindi \(\sinh \sinistra( {2\pi \sqrt { – \lambda } destra) \ne 0\). Pertanto, dobbiamo avere \({c_1} = 0\).
Così, per questo BVP non abbiamo di nuovo autovalori negativi.
In sintesi, allora avremo i seguenti autovalori/ autofunzioni per questo BVP.
\
Nota anche che possiamo effettivamente combinare questi se permettiamo che la lista di \(n) per il primo inizi a zero invece di uno. Questo spesso non accadrà, ma quando accadrà ne approfitteremo. Quindi la lista “ufficiale” di autovalori/funzioni autoctone per questo BVP è,
\5412>
Quindi, nei due esempi precedenti abbiamo visto che generalmente dobbiamo considerare diversi casi per \(\lambda \) poiché valori diversi porteranno spesso a soluzioni generali diverse. Non bloccatevi troppo nei casi che abbiamo fatto qui. Risolveremo per lo più questa particolare equazione differenziale e quindi saremo tentati di assumere che questi sono sempre i casi che guarderemo, ma ci sono BVP che richiederanno altri/diversi casi.
Inoltre, come abbiamo visto nei due esempi a volte uno o più dei casi non produrrà alcun autovalore. Questo succede spesso, ma ancora una volta non dobbiamo leggere nulla nel fatto che non abbiamo avuto autovalori negativi per nessuno di questi due BVP. Ci sono BVP che avranno autovalori negativi.
Diamo un’occhiata a un altro esempio con un insieme molto diverso di condizioni al contorno. Queste non sono le tradizionali condizioni al contorno che abbiamo visto fino a questo punto, ma vedremo nel prossimo capitolo come queste possano derivare da certi problemi fisici.
In questo esempio non specificheremo la soluzione o la sua derivata ai confini. Invece specificheremo semplicemente che la soluzione deve essere la stessa ai due confini e la derivata della soluzione deve anche essere la stessa ai due confini. Inoltre, questo tipo di condizione al contorno sarà tipicamente su un intervallo della forma invece che come abbiamo lavorato fino a questo punto.
Come detto sopra questo tipo di condizioni al contorno si presentano molto naturalmente in certi problemi fisici e lo vedremo nel prossimo capitolo.
Come nei due esempi precedenti abbiamo ancora i tre casi standard da guardare.
(\sottolinea {lambda > 0} \)
La soluzione generale per questo caso è,
\
Applicando la prima condizione al contorno e usando il fatto che il coseno è una funzione pari (cioè\cos \sinistra( { – x} destra) = \cos \sinistra( x destra)\)) e che il seno è una funzione dispari (cioè \sin \sin \sinistra( { – x} destra) = – \sin \sin \destra)\). ci dà,
\
Questa volta, a differenza dei due esempi precedenti questo non ci dice veramente nulla. Potremmo avere \sin \sin \sin \sinistra( {\pi \sqrt \lambda } \destra) = 0\) ma è anche completamente possibile, a questo punto del problema comunque, per noi avere \({c_2} = 0\) pure.
Allora, andiamo avanti e applichiamo la seconda condizione al contorno e vediamo se ne ricaviamo qualcosa.
\
Allora, otteniamo qualcosa di molto simile a quello che abbiamo ottenuto dopo aver applicato la prima condizione al contorno. Poiché stiamo assumendo che \(\lambda > 0\) questo ci dice che o \(\sin \sinistra( \pi \sqrt \lambda } destra) = 0\) o \({c_1} = 0\).
Nota però che se \sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \destra) \ne 0\) allora dovremo avere \({c_1} = {c_2} = 0\) e avremo la soluzione banale. Abbiamo quindi bisogno di richiedere che \(\sin \sinistra( {\pi \sqrt \lambda } \destra) = 0\) e quindi proprio come abbiamo fatto per i due esempi precedenti possiamo ora ottenere gli autovalori,
\5326> Ricordando che \(\lambda > 0\) e possiamo vedere che abbiamo bisogno di iniziare la lista dei possibili \(n) da uno invece che da zero.
Quindi, ora conosciamo gli autovalori per questo caso, ma che dire delle autofunzioni. La soluzione per un dato autovalore è,
e non abbiamo motivo di credere che una delle due costanti sia zero o non zero. In casi come questi si ottengono due serie di autofunzioni, una corrispondente a ciascuna costante. I due insiemi di autofunzioni per questo caso sono,
Ora il secondo caso.
(\sottolinea {lambda = 0} \)
La soluzione generale è,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Utilizzando questo la soluzione generale è allora,
\
e si noti che questo soddisferà banalmente la seconda condizione al contorno proprio come abbiamo visto nel secondo esempio sopra. Quindi, abbiamo di nuovo \(\lambda = 0\) come autovalore per questo BVP e l’autofunzione corrispondente a questo autovalore è,
\
Finalmente occupiamoci del terzo caso.
\(\sottolinea {\lambda < 0} \)
La soluzione generale qui è,
\
Applicando la prima condizione al contorno e usando il fatto che il coseno iperbolico è pari e il seno iperbolico è dispari si ottiene,
\
Ora, in questo caso stiamo assumendo che \(\lambda < 0\) e quindi sappiamo che \(\pi \sqrt { – \lambda } ne 0\) che a sua volta ci dice che \(\sinh \left( {\pi \sqrt { – \lambda } \right) \ne 0\). Dobbiamo quindi avere \({c_2} = 0\).
Applichiamo ora la seconda condizione al contorno per ottenere,
\
Con la nostra assunzione su \(\lambda \) non abbiamo di nuovo altra scelta che avere \({c_1} = 0\).
Quindi, in questo caso l’unica soluzione è la soluzione banale e quindi, per questo BVP non abbiamo di nuovo autovalori negativi.
In sintesi avremo quindi i seguenti autovalori/ autofunzioni per questo BVP.
\
Nota che abbiamo riconosciuto che per \(\lambda > 0\) abbiamo avuto due serie di autovalori elencandoli ciascuno separatamente. Inoltre, possiamo di nuovo combinare gli ultimi due in un unico insieme di autovalori e autofunzioni. Così facendo si ottiene il seguente insieme di autovalori e autofunzioni.
Ancora una volta, abbiamo un esempio senza autovalori negativi. Non possiamo sottolineare abbastanza che questa è più una funzione dell’equazione differenziale con cui stiamo lavorando che altro e ci saranno esempi in cui potremmo avere autovalori negativi.
Ora, fino a questo punto abbiamo lavorato solo con un’equazione differenziale quindi lavoriamo un esempio con un’equazione differenziale diversa solo per essere sicuri di non rimanere troppo bloccati in quest’unica equazione differenziale.
Prima di lavorare questo esempio notiamo che lavoreremo ancora la maggior parte dei nostri esempi con l’unica equazione differenziale che abbiamo usato fino ad ora. Stiamo lavorando con quest’altra equazione differenziale solo per essere sicuri di non essere troppo bloccati nell’uso di un’unica equazione differenziale.
Questa è un’equazione differenziale di Eulero e quindi sappiamo che dovremo trovare le radici della seguente quadratica.
\
Le radici di questa quadratica sono,
\
Ora, avremo di nuovo alcuni casi con cui lavorare, tuttavia non saranno gli stessi degli esempi precedenti. La soluzione dipenderà dal fatto che le radici siano reali distinte, doppie o complesse e questi casi dipenderanno dal segno/valore di \(1 – \lambda \). Quindi, esaminiamo i casi.
\(\sottolinea {1 – \lambda < 0,\,\,\lambda > 1} \)
In questo caso le radici saranno complesse e dovremo scriverle come segue per scrivere la soluzione.
\
Scrivendo le radici in questo modo sappiamo che \(\lambda – 1 > 0\) e quindi \(\sqrt {lambda – 1} \) è ora un numero reale, che ci serve per scrivere la seguente soluzione,
\
Applicando la prima condizione limite si ottiene,
\
La seconda condizione al contorno ci dà,
\
Per evitare la soluzione banale per questo caso richiederemo,
\
Questa è una condizione molto più complicata di quella che abbiamo visto finora, ma a parte questo facciamo la stessa cosa. Quindi, risolvendo per \(\lambda \) ci dà il seguente insieme di autovalori per questo caso.
\
Nota che dobbiamo iniziare la lista degli autovalori da uno e non da zero per essere sicuri di avere \(\lambda > 1\) come stiamo assumendo per questo caso.
Le autofunzioni che corrispondono a questi autovalori sono,
\
Ora il secondo caso.
(\sottolinea {1 – \lambda = 0,\,\,\lambda = 1} \)
In questo caso si ottiene una doppia radice di \({r_{\,1,2}} = – 1\) e quindi la soluzione è,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
La seconda condizione al contorno dà,
\
Abbiamo quindi solo la soluzione banale per questo caso e quindi \(\lambda = 1\) non è un autovalore.
Ci occupiamo ora del terzo (e ultimo) caso.
(\sottolinea {1 – \lambda > 0,\,\lambda < 1} \)
Questo caso avrà due radici reali distinte e la soluzione è,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Utilizzando questa soluzione diventa,
\
Applicando la seconda condizione al contorno si ottiene,
\
Ora, poiché sappiamo che \(\lambda \ne 1\) per questo caso gli esponenti sui due termini nella parentesi non sono gli stessi e quindi il termine nella parentesi non è lo zero. Questo significa che possiamo avere solo,
\
e quindi in questo caso abbiamo solo la soluzione banale e non ci sono autovalori per cui \(\lambda < 1\).
Gli unici autovalori per questo BVP provengono quindi dal primo caso.
Allora, abbiamo lavorato un esempio usando un’equazione differenziale diversa da quella “standard” che abbiamo usato finora. Tuttavia, come abbiamo visto nel lavoro, il processo di base è stato più o meno lo stesso. Abbiamo determinato che c’era un certo numero di casi (tre qui, ma non saranno sempre tre) che davano soluzioni diverse. Abbiamo esaminato ogni caso per determinare se erano possibili soluzioni non banali e in tal caso abbiamo trovato gli autovalori e le autofunzioni corrispondenti a quel caso.
Abbiamo bisogno di lavorare un ultimo esempio in questa sezione prima di lasciare questa sezione per alcuni nuovi argomenti. I quattro esempi che abbiamo lavorato fino a questo punto erano tutti abbastanza semplici (e semplice è relativo, naturalmente…), tuttavia non vogliamo lasciare senza riconoscere che molti problemi di autovalori/ autofunzioni sono così facili.
In molti esempi non è nemmeno possibile ottenere una lista completa di tutti gli autovalori possibili per una BVP. Spesso le equazioni che dobbiamo risolvere per ottenere gli autovalori sono difficili se non impossibili da risolvere esattamente. Quindi, diamo un’occhiata a un esempio come questo per vedere che tipo di cose possono essere fatte per avere almeno un’idea di come sono gli autovalori in questo tipo di casi.
Le condizioni al contorno per questo BVP sono abbastanza diverse da quelle con cui abbiamo lavorato fino ad ora. Tuttavia, il processo di base è lo stesso. Quindi cominciamo con il primo caso.
(\sottolinea {lambda > 0} \)
La soluzione generale dell’equazione differenziale è identica ai primi esempi e quindi abbiamo,
\5326>Applicando la prima condizione al contorno si ottiene, \5326>La seconda condizione al contorno ci dà, \
Quindi, se lasciamo che \({c_2} = 0\) otteniamo la soluzione banale e quindi per soddisfare questa condizione al contorno dovremo richiedere invece che,
\
Ora, questa equazione ha soluzioni ma dovremo usare alcune tecniche numeriche per ottenerle. Per vedere cosa sta succedendo qui, tracciamo un grafico di \(\tan \left( \sqrt \lambda } destra)\) e \( – \sqrt \lambda \) sullo stesso grafico. Ecco il grafico e notate che l’asse orizzontale è davvero costituito dai valori di \(\sqrt \lambda \) poiché ciò renderà le cose un po’ più facili da vedere e da mettere in relazione con i valori che ci sono familiari.
Quindi, gli autovalori per questo caso si verificheranno dove le due curve si intersecano. Abbiamo mostrato i primi cinque sul grafico e ancora una volta ciò che viene mostrato sul grafico è in realtà la radice quadrata dell’autovalore effettivo, come abbiamo notato.
La cosa interessante da notare qui è che più lontano sul grafico più gli autovalori si avvicinano agli asintoti della tangente e quindi ne approfitteremo e diremo che per abbastanza grandi \(n\) possiamo approssimare gli autovalori con le posizioni (molto ben note) degli asintoti della tangente.
Quanto grande è il valore di \(n\) prima di iniziare a usare l’approssimazione dipenderà da quanta precisione vogliamo, ma poiché conosciamo la posizione degli asintoti e man mano che \(n\) aumenta la precisione dell’approssimazione aumenterà quindi sarà abbastanza facile controllare per una data precisione.
Per gli scopi di questo esempio abbiamo trovato i primi cinque numericamente e poi useremo l’approssimazione degli autovalori rimanenti. Ecco questi valori/approssimazioni.
Il numero tra parentesi dopo i primi cinque è il valore approssimato dell’asintoto. Come possiamo vedere sono un po’ fuori, ma quando arriviamo a \(n = 5\) l’errore nell’approssimazione è dello 0,9862%. Quindi meno dell’1% di errore quando arriviamo a \(n = 5\) e migliorerà solo per valori più grandi di \(n).
Le autofunzioni per questo caso sono,
\
dove i valori di \(\lambda _{\,n}}}} sono dati sopra.
Quindi, ora che tutto quel lavoro è fuori strada diamo un’occhiata al secondo caso.
(\sottolinea {lambda = 0} \)
La soluzione generale è,
\
Applicando la prima condizione al contorno si ottiene,
\
Utilizzando questo la soluzione generale è quindi,
\
Applicando la seconda condizione al contorno si ottiene,
\
Quindi, per questo caso si ottiene solo la soluzione banale e quindi \(\lambda = 0\) non è un autovalore. Si noti tuttavia che se la seconda condizione al contorno fosse stata \(y’\sinistra( 1 \destra) – y\sinistra( 1 \destra) = 0\) allora \(\lambda = 0\) sarebbe stato un autovalore (con autofunzioni \(y\sinistra( x \destra) = x\)) e quindi di nuovo dobbiamo stare attenti a leggere troppo nel nostro lavoro qui.
Finalmente occupiamoci del terzo caso.
(\sottolinea {lambda < 0} \)
La soluzione generale qui è,
\
Applicando la prima condizione al contorno dà,
\5326>Utilizzando questo la soluzione generale diventa, \
Applicando la seconda condizione al contorno si ottiene,
\
Ora, per ipotesi sappiamo che \(\lambda < 0\) e quindi \(\sqrt { – \lambda } > 0\). Questo a sua volta ci dice che \sinh \sinistra( {sqrt { – \lambda } destra) > 0\) e sappiamo che \cosh \sinistra( x \destra) > 0\) per tutti \(x\). Quindi,
\
e quindi dobbiamo avere \({c_2} = 0\) e ancora una volta in questo terzo caso otteniamo la soluzione banale e quindi questo BVP non avrà autovalori negativi.
In sintesi, gli unici autovalori per questo BVP derivano dall’assunzione che \(\lambda > 0\) e sono dati sopra.
Quindi, abbiamo lavorato diversi esempi di autovalori/funzioni proprie in questa sezione. Prima di lasciare questa sezione dobbiamo notare ancora una volta che c’è una grande varietà di problemi diversi su cui possiamo lavorare qui e abbiamo mostrato solo una manciata di esempi e quindi per favore non andate via da questa sezione credendo che vi abbiamo mostrato tutto.
L’intero scopo di questa sezione è di prepararci per i tipi di problemi che vedremo nel prossimo capitolo. Inoltre, nel prossimo capitolo ci limiteremo di nuovo ad alcuni problemi piuttosto semplici e basilari per illustrare uno dei metodi più comuni per risolvere le equazioni differenziali parziali.
Il nostro scopo è quello di prepararci al tipo di problemi che vedremo nel prossimo capitolo.
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