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Coordinate baricentriche

Alla fine della discussione sul Teorema di Ceva, siamo arrivati alla conclusione che, per qualsiasi punto K all’interno di ΔABC, esistono tre masse wA, wB, e wC tali che, se poste ai corrispondenti vertici del triangolo, il loro centro di gravità (baricentro) coincide con il punto K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definì (1827) wA, wB e wC come le coordinate baricentriche di K. (È possibile generalizzare e considerare anche masse negative per punti esterni al triangolo. Questo non è necessario per i miei scopi). Come definito, le coordinate baricentriche non sono uniche. Le masse kwA, kwB e kwC hanno esattamente lo stesso baricentro per qualsiasi k > 0. Così le coordinate baricentriche sono una forma di coordinate omogenee generali che sono usate in molti rami della matematica (e anche nella grafica al computer). Con una condizione aggiuntiva

(*) wA + wB + wC = 1

le coordinate baricentriche sono definite unicamente per ogni punto all’interno del triangolo. (Le coordinate baricentriche che soddisfano (*) sono note come coordinate areali perché, assumendo che l’area di ΔABC sia 1, i pesi w sono uguali alle aree dei triangoli KBC, KAC e KAB). Poiché il baricentro di qualsiasi due punti giace sul segmento di collegamento, wA = 0 per i punti su BC, wB = 0 per i punti su AC, e wC = 0 su AB. I vertici A,B,C hanno coordinate (1,0,0), (0,1,0), e (0,0,1), rispettivamente.

Il modo usuale per definire il baricentro di tre punti con masse date (chiamiamo tali punti materiali) è di porre prima la somma delle masse di due punti qualsiasi al loro baricentro. Ora si ripete la stessa operazione (1-dimensionale) accoppiando il nuovo e il terzo punto rimanente. (L’argomento è formalizzato nella geometria affine. Preferisco mantenere la discussione intuitiva). Supponendo (*), se wA è tenuto fisso, lo sarà anche la somma wB + wC. Ne segue che per due possibili posizioni D e D’ del baricentro di B e C, abbiamo DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Pertanto, KK’ è parallelo a BC. In altre parole, l’equazione wA = const descrive le linee parallele a BC. Come abbiamo già notato, l’equazione di BC è wA = 0. Una relazione simile esiste tra wB e AC e wC e AB.

Se Mb e Mc sono punti medi di AC e AB, rispettivamente, allora l’equazione di MbMc è wA = 1/2. Allo stesso modo, MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} e MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Guardiamo il diagramma sulla destra. Nel triangolo blu, tutte e tre le coordinate sono inferiori a 1/2. Pertanto, la prima cifra della loro rappresentazione binaria è zero. Nei triangoli rossi, due coordinate sono inferiori a 1/4 mentre la terza è tra 1/2 e 3/4. Pertanto, nei triangoli rossi, tutte e tre le coordinate hanno la loro seconda cifra binaria zero. Questo porta alla procedura di rimozione del trema per costruire la guarnizione di Sierpinski e fornisce un indizio alla sua descrizione nelle coordinate baricentriche.

Le coordinate baricentriche sorgono naturalmente ogni volta che le quantità variabili hanno una somma costante. Il problema dei tre bicchieri, in cui stiamo versando acqua da un bicchiere all’altro sotto l’ipotesi irrealistica che nel processo nessuna goccia d’acqua sarà versata, è un esempio saliente. Il problema illustra splendidamente il concetto di coordinate baricentriche.

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