Cointegrazione: Definizione, Esempi, Test

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Potresti voler leggere prima questo articolo: Cos’è l’ordine di integrazione?

I test di integrazione analizzano le serie temporali non stazionarie – processi che hanno varianze e medie che variano nel tempo. In altre parole, il metodo permette di stimare i parametri di lungo periodo o l’equilibrio in sistemi con variabili a radice unitaria (Rao, 2007).

Due insiemi di variabili sono cointegrati se una combinazione lineare di quelle variabili ha un ordine di integrazione inferiore. Per esempio, la cointegrazione esiste se un insieme di variabili I(1) può essere modellato con combinazioni lineari che sono I(0). L’ordine di integrazione – I(1) – vi dice che una singola serie di differenze può trasformare le variabili non stazionarie in stazionarietà. Anche se guardare un grafico può talvolta dirvi se avete un processo I(1), potrebbe essere necessario eseguire un test come il test KPSS o il test Augmented Dickey-Fuller per capirlo.

Sfondo

Per analizzare le serie temporali con metodi classici come i minimi quadrati ordinari, viene fatta una supposizione: Le varianze e le medie delle serie sono costanti indipendenti dal tempo (cioè i processi sono stazionari). Le serie temporali non stazionarie (o le variabili con radice unitaria) non soddisfano questo presupposto, quindi i risultati di qualsiasi test di ipotesi saranno distorti o fuorvianti. Queste serie devono essere analizzate con metodi diversi. Uno di questi metodi è chiamato cointegrazione.

Più formalmente, la cointegrazione è quando due serie temporali I(1) xt e yt possono essere descritte dal processo stazionario
ut = yt – αxt.

Test di cointegrazione

I test di cointegrazione identificano relazioni stabili e di lungo periodo tra gruppi di variabili. Tuttavia, Rao (2007) nota che se il test non riesce a trovare una tale relazione, non è una prova che non esiste – suggerisce solo che non esiste.

Tre dei test più popolari sono:

1. Engle-Granger
2. Phillips-Ouliaris
3. Johansen test

Engle-Granger

Il metodo Engle-Granger costruisce prima i residui (errori) in base alla regressione statica.I residui sono testati per la presenza di radici unitarie usando ADF o un test simile. Se la serie temporale è cointegrata, allora i residui saranno praticamente stazionari. Un problema importante del metodo Engle-Granger è che la scelta della variabile dipendente può portare a conclusioni diverse (Armstrong, 2001), un problema corretto da test più recenti come quello di Phillips-Ouliaris e Johansen.

H0: Non esiste cointegrazione
H1: Esiste cointegrazione

Questo test viene solitamente eseguito da software come MATLAB o STAT (usando il comando egranger).

In R, scaricare il codice “adf.R” trovato qui sul sito dell’Università dell’Illinois. Uno schema dei passi si trova qui (scorrere fino a Cointegrazione: Test Engle-Granger); avrete bisogno di questa tabella di valori critici per il test Engle-Granger.

Phillips-Ouliaris

Il Philips-Ouliaris (1990) è un test di radice unitaria basato sui residui. È un miglioramento rispetto al test di Engle-Ganger; prima del 1987, i test di cointegrazione si basavano sul presupposto che gli errori di regressione sono indipendenti con varianza comune, il che è raramente vero nella vita reale (Chaovalitwongse et. al, 2010).

H0: Non esiste cointegrazione
H1: Esiste cointegrazione

Il test di Philips-Ouliaris tiene conto della variabilità supplementare (derivante dal fatto che i residui sono stime invece dei valori reali dei parametri). Il test è anche invariante alla normalizzazione della relazione di cointegrazione (cioè quale variabile viene considerata come variabile dipendente).

Test di Johansson

Il test di Johansson è un altro miglioramento rispetto al test di Engle-Granger. Evita il problema della scelta della variabile dipendente così come i problemi creati quando gli errori vengono portati da un passo all’altro. Come tale, il test può rilevare più vettori cointegranti.

Armstrong, J. Principles of Forecasting: A Handbook for Researchers and Practitioners. Springer Science & Business Media
Chaovalitwongse, W. et. al (2010). Neuroscienze computazionali. Springer Science & Business Media.
Engle, R. F., and C. W. J. Granger. 1987. Co-integrazione e correzione degli errori: Rappresentazione, stima e test. Econometrica 55: 251-276.
Granger, C.; Newbold, P. (1974). Regressioni spurie in econometria. Giornale di Econometria. 2 (2): 111-120. doi:10.1016/0304-4076(74)90034-7
P. C. B. Phillips e S. Ouliaris (1990): Proprietà asintotiche dei test di cointegrazione basati sui residui. Econometrica 58, 165-193.
Rao, B. (2007). Cointegrazione: per l’economista applicato, Springer.

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