Matematika a szabad bölcsészet számára

Learning Outcomes

  • Meghatározni és azonosítani a geometriai formák, növények önhasonlóságát, és geológiai képződmények
  • Generálni egy fraktál alakzatot egy indító és egy generátor segítségével
  • Méretezni egy geometriai objektumot egy adott méretezési tényezővel a méretezési dimenzió összefüggés segítségével
  • Meghatározni egy fraktál objektum fraktáldimenzióját

A fraktálok a vizuális önhasonlóság mellett más érdekes tulajdonságokkal is rendelkeznek. Vegyük például észre, hogy a Sierpinski-tömítés iterációjának minden egyes lépése a fennmaradó terület egynegyedét távolítja el. Ha ezt a folyamatot a végtelenségig folytatnánk, akkor a végén lényegében az egész területet eltávolítanánk, ami azt jelenti, hogy egy kétdimenziós területtel kezdtük, és valahogy a végén valami ennél kisebbet kapunk, de látszólag többet, mint egy egydimenziós vonal.

Ahhoz, hogy ezt az elképzelést megvizsgáljuk, beszélnünk kell a dimenzióról. Valami, például egy vonal 1 dimenziós; csak hossza van. Bármilyen görbe 1 dimenziós. Az olyan dolgok, mint a dobozok és a körök 2 dimenziósak, mivel van hosszuk és szélességük, ami egy területet ír le. Az olyan tárgyak, mint a dobozok és a hengerek hosszúsággal, szélességgel és magassággal rendelkeznek, ami egy térfogatot ír le, és 3 dimenziósak.

Az 1 dimenziós tárgyak közé tartozik az egyenes vonal és a szabálytalan hullámvonal. A 2 dimenziós tárgyak közé tartozik a téglalap, a háromszög és a kör. A 3 dimenziós tárgyak közé tartozik a kocka és a henger.

A tárgyak méretezésére bizonyos szabályok vonatkoznak, amelyek a dimenziójukkal kapcsolatosak.

Ha lenne egy 1 hosszúságú egyenesem, és a hosszát 2-vel akarnám méretezni, akkor az eredeti egyenes két példányára lenne szükségem. Ha lenne egy 1 hosszúságú vonalam, és a hosszát 3-mal akarnám méretezni, akkor az eredeti három példányára lenne szükségem.

1, egy vízszintes vonal. 2, egy kétszer olyan hosszú vízszintes vonal. 3, egy háromszor olyan hosszú vízszintes vonal.

Ha lenne egy téglalapom, amelynek hossza 2, magassága 1, és a hosszát és szélességét 2-vel akarnám méretezni, akkor az eredeti téglalap négy példányára lenne szükségem. Ha a hosszát és a szélességét 3-mal akarnám méretezni, akkor az eredeti téglalap kilenc példányára lenne szükségem.

Egy téglalap, amelynek oldalai 1 és 2 méretűek. Ezután négy példányt ebből a téglalapból, hogy egy nagyobb téglalapot alkossunk, amelynek oldalai 2 és 4-esek. Ezután az első téglalap kilenc példánya, hogy egy nagyobb téglalapot alkossunk, amelynek oldalai 3 és 6 méretűek.

Ha lenne egy kocka, amelynek oldalai 1 hosszúak, és a hosszát és szélességét 2-vel akarnám méretezni, akkor az eredeti kocka nyolc példányára lenne szükségem. Ha a hosszát és szélességét 3-mal akarnám méretezni, akkor az eredeti kocka 27 példányára lenne szükségem.

Egy kocka, amelynek oldalai 1 x 1 x 1 x 1. Ezután nyolc példányt készítek ebből a kockából, hogy egy nagyobb kockát alkossak, amelynek oldalai 2 x 2 x 2. Ezután 27 példányt készítek az eredeti kockából, hogy egy nagyobb, 3 x 3 x 3 méretű kockát alkossak.

Megjegyezzük, hogy az 1 dimenziós esetben a szükséges példányok = méretarány.

A 2 dimenziós esetben a szükséges példányok = méretarány^{2}.

A 3 dimenziós esetben a szükséges példányok = méretarány^{3}.

A példákból következtethetünk egy mintára.

Méretezés-dimenzió összefüggés

Egy D-dimenziós alakzat S méretezési tényezővel való méretezéséhez az eredeti alakzat szükséges C példányainak száma a következő lesz:

\text{Copies}=\text{Scale}^{\text{Dimension}}, vagy C=S^{D}

Példa

A méretezés-dimenzió összefüggést használjuk a Sierpinski-tömítés méretének meghatározására.

Tegyük fel, hogy az eredeti tömítés oldalhosszúságát 1. Az ábrázolt nagyobb tömítés kétszer olyan széles és kétszer olyan magas, tehát 2-szeresére méreteztük.

Sierpinski-tömítés háromszög. Ezután egy nagyobb háromszög, amely három Sierpinski-tömítésű háromszögből és egy fehér háromszögből áll a közepén.

Megjegyezzük, hogy a nagyobb tömítés megépítéséhez az eredeti tömítés 3 példányára van szükség.

A C=S^{D} méretezési-dimenzió összefüggést felhasználva megkapjuk a 3=2^{D} egyenletet.

Mivel 2^{1}=2 és 2^{2}=4, azonnal láthatjuk, hogy D valahol 1 és 2 között van; a tömítés több mint 1 dimenziós alakzat, de annyi területet vettünk el, hogy az már kevesebb, mint 2 dimenziós.

A 3=2^{D} egyenlet megoldásához logaritmusokra van szükség. Ha korábban tanultál logaritmusokat, akkor talán emlékszel, hogyan kell megoldani ezt az egyenletet (ha nem, akkor ugorj az alábbi dobozba, és használd ezt a képletet a számológép log gombjával):

Vegyük mindkét oldal logaritmusát.

3={{2}^{D}}}

A logaritmusok exponens tulajdonságát használd.

\log(3)=\log\left({{2}^{D}}}\right)

Osszuk el log(2)-vel.

\log(3)=D\log\left(2\right)

A tömítés mérete körülbelül 1,585.

D=\frac{\log\left(3\right)}{\log(2)}\approx1.585

Méretezés-dimenzió összefüggés, a dimenzió megtalálásához

Egy fraktál D dimenziójának megtalálásához meg kell határozni az S méretezési tényezőt és az eredeti alakzat szükséges C példányainak számát, majd használjuk a képletet

D=\frac{\log\left(C\right)}{\log(S)}

Kipróbáljuk

Meghatározzuk az iniciátor és a generátor segítségével előállított fraktál dimenzióját.

Az iniciátor egy négyzet. A generátor öt négyzet, amelyek egy kockás mintát alkotnak.
Megoldás megjelenítése

A fraktál 3-mal való méretezéséhez az eredeti 5 példányára van szükség.

D=\frac{\text{log}\left(5\right)}{\text{log}\left(3\right)}\approx1.465

A következő videóban egy kidolgozott példát mutatunk be a Sierpinski-tömítés dimenziójának meghatározására

.

Leave a Reply