Kontinuum-hipotézis
Kontinuum-hipotézis, a halmazelmélet azon állítása, hogy a valós számok halmaza (a kontinuum) bizonyos értelemben a lehető legkisebb. Georg Cantor német matematikus 1873-ban bebizonyította, hogy a kontinuum megszámlálhatatlan – vagyis a valós számok nagyobb végtelen, mint a számlálószámok -, ami kulcsfontosságú eredmény a halmazelmélet mint matematikai tárgy elindításában. Cantor továbbá kidolgozott egy módszert a végtelen halmazok méretének osztályozására az elemeik száma, vagyis a kardinálisuk alapján. (Lásd halmazelmélet: Kardinalitás és transzfinit számok.) Ezekkel a kifejezésekkel a kontinuumhipotézis a következőképpen fogalmazható meg: A kontinuum kardinalitása a legkisebb megszámlálhatatlan kardinális szám.
Cantor jelölésében a kontinuitás-hipotézis a 2ℵ0 = ℵ1 egyszerű egyenlettel fejezhető ki, ahol ℵ0 egy végtelen megszámlálható halmaz (például a természetes számok halmaza) kardinális száma, a nagyobb “jól rendezhető halmazok” kardinális számai pedig ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indexelve a rendszámokkal. A kontinuum kardinalitása megmutatható, hogy egyenlő 2ℵ0-val; így a kontinuumhipotézis kizárja a természetes számok és a kontinuum közötti méretű halmaz létezését.
Egy erősebb állítás az általánosított kontinuumhipotézis (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 minden α rendszámra. Wacław Sierpiński lengyel matematikus bebizonyította, hogy a GCH segítségével levezethető a választási axióma.
A választási axiómához hasonlóan Kurt Gödel osztrák származású amerikai matematikus 1939-ben bebizonyította, hogy ha a többi standard Zermelo-Fraenkel-axióma (ZF; lásd a 
táblázatot) konzisztens, akkor nem cáfolja a kontinuumhipotézist, de még a GCH-t sem. Vagyis a GCH-nak a többi axiómához való hozzáadásának eredménye konzisztens marad. Aztán 1963-ban Paul Cohen amerikai matematikus kiegészítette a képet azzal, hogy – ismét a ZF konzisztenciájának feltételezése mellett – megmutatta, hogy a ZF nem eredményezi a kontinuumhipotézis bizonyítását.
Mivel a ZF sem nem bizonyítja, sem nem cáfolja a kontinuumhipotézist, továbbra is fennáll a kérdés, hogy elfogadjuk-e a kontinuumhipotézist a halmazokról alkotott informális fogalom alapján. A matematikai közösségben az általános válasz nemleges: a kontinuumhipotézis egy korlátozó állítás egy olyan kontextusban, ahol nincs ismert ok a korlát felállítására. A halmazelméletben a hatványhalmaz-művelet minden ℵα kardinalitású halmazhoz hozzárendeli az összes részhalmazának halmazát, amely 2ℵα kardinalitású. Úgy tűnik, nincs okunk arra, hogy korlátot szabjunk a végtelen halmaz részhalmazainak sokféleségére.
Leave a Reply