Homotópiaelmélet

Terek és leképezésekSzerkesztés

A homotópiaelméletben és az algebrai topológiában a “tér” szó topológiai teret jelöl. A patológiák elkerülése érdekében ritkán dolgozunk tetszőleges terekkel; ehelyett megköveteljük, hogy a terek megfeleljenek extra megkötéseknek, például kompaktan generáltak, vagy Hausdorff, vagy CW-komplexum.

A fentiekhez hasonlóan a “térkép” egy folytonos függvény, esetleg néhány extra megkötéssel.

Gyakran dolgozunk hegyes terekkel — azaz olyan terekkel, amelyeknek van egy “megkülönböztetett pontja”, az úgynevezett bázispont. A hegyes leképezés ekkor olyan leképezés, amely megőrzi a bázispontokat; vagyis a tartomány bázispontját a társtartomány bázispontjába küldi. Ezzel szemben a szabad térkép olyan, amelynek nem kell megőriznie a bázispontokat.

HomotópiaSzerkesztés

Jelölje I az egységnyi intervallumot. Az I által indexált térképek családja, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\to Y}

homotópiának nevezzük a h 0 {\displaystyle h_{0}}

és h 1 {\displaystyle h_{1}} között.

ha h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

egy leképezés (pl. folytonos függvénynek kell lennie). Ha X, Y pontszerű terek, akkor a h t {\displaystyle h_{t}}

az alappontok megőrzéséhez szükséges. A homotópia megmutatható ekvivalenciarelációnak. Adott egy X csúcsos tér és egy n ≥ 1 egész szám {\displaystyle n\geq 1}

, legyen π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

legyenek az S n → X {\displaystyle S^{n}\to X}

alapú térképek homotópiaosztályai egy (hegyes) n-gömbből S n {\displaystyle S^{n}}}

X-re. Mint kiderül, π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

csoportok; különösen π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

az X fundamentális csoportjának nevezzük.

Ha a pontszerű terek helyett inkább térrel szeretnénk dolgozni, akkor létezik a fundamentális groupoid fogalma (és magasabb változatai): definíció szerint egy X tér fundamentális groupoidja az a kategória, ahol az objektumok X pontjai, a morfizmusok pedig utak.

Kofibráció és fibrációSzerkesztés

Egy f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

térképet kofibrációnak nevezünk, ha adott (1) egy h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

és (2) egy homotópia g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\to Z}

, létezik egy homotópia h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

amely kiterjeszti h 0 {\displaystyle h_{0}}

és olyan, hogy h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. Bizonyos laza értelemben ez egy absztrakt algebrai injektív modul definíciós diagramjának analógja. A legalapvetőbb példa egy CW pár ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; mivel sokan csak CW-komplexumokkal dolgoznak, a kofibráció fogalma gyakran implicit.

A Serre-i értelemben vett fibráció a kofibráció kettős fogalma: azaz egy p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

akkor fibráció, ha adott (1) egy térkép Z → X {\displaystyle Z\to X}

és (2) egy homotópia g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, létezik egy olyan homotópia h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

, hogy h 0 {\displaystyle h_{0}}

az adott és p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Egy alapvető példa erre a fedési térkép (valójában a fibráció a fedési térkép általánosítása). Ha E {\displaystyle E}

egy fő G-köteg, azaz egy (topológiai) csoport szabad és tranzitív (topológiai) csoporthatásával rendelkező tér, akkor a p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

egy példa a fibrációra.

Osztályozó terek és homotópia műveletekSzerkesztés

Adott egy G topológiai csoport, a fő G-kötegek osztályozó tere (“a” az ekvivalenciáig) egy B G {\displaystyle BG} tér.

olyan, hogy minden X térhez, = {\displaystyle =}

{ fő G-köteg X-en } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\,\mapsto f^{*}EG}

ahol

• a baloldal az X → B G {\displaystyle X\to BG} térképek homotópiaosztályainak halmaza.
  

  ,

• ~ a kötegek izomorfizmusára utal, és
• = az E G {\displaystyle EG} megkülönböztetett köteg visszahúzásával adódik.
  

  a B G {\displaystyle BG}

  

  (univerzális kötegnek nevezzük) az X → B G {\displaystyle X\to BG}

  

  .

Brown ábrázolhatósági tétele garantálja az osztályozó terek létezését.

Spektrum és általános kohomológiaSzerkesztés

Az elképzelést, hogy egy osztályozó tér osztályozza a főkötegeket, tovább lehet vinni. Megpróbálhatjuk például a kohomológia osztályok osztályozását: adott egy A abéliumú csoport (például Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

hol K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

az Eilenberg-MacLane tér. A fenti egyenlet elvezet az általánosított kohomológiaelmélet fogalmához; azaz egy olyan kontravariáns funktorhoz a terek kategóriájából az abéli csoportok kategóriájába, amely kielégíti a közönséges kohomológiaelméletet általánosító axiómákat. Mint kiderült, egy ilyen funktor nem feltétlenül reprezentálható térrel, de mindig reprezentálható (hegyes) terek egy spektrumnak nevezett, struktúratérképekkel ellátott sorozatával. Más szóval, egy általánosított kohomológiaelméletet megadni annyi, mint egy spektrumot megadni.

Egy spektrum alapvető példája a gömbspektrum: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }