Homomorfizmus

A homomorfizmusok több fajtájának van sajátos neve, amelyet az általános morfizmusokra is definiálnak.

IzomorfizmusSzerkesztés

Az azonos típusú algebrai struktúrák közötti izomorfizmust általában bijektív homomorfizmusként definiálják.:134 :28

A kategóriaelmélet általánosabb kontextusában az izomorfizmus olyan morfizmus, amelynek van inverze, amely szintén morfizmus. Az algebrai struktúrák speciális esetében a két definíció ekvivalens, bár nem-algebrai struktúrák esetében, amelyek mögöttes halmazzal rendelkeznek, eltérhetnek.

Pontosabban, ha

f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

{\displaystyle f:A\to B}

egy (homo)morfizmus, akkor van inverze, ha létezik egy homomorfizmus

g : B → A {\displaystyle g:B\to A}

{\displaystyle g:B\to A}

olyan, hogy

f ∘ g = Id B és g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{és}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}

{\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{és}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id}\qquad f=\operatorname {Id} _{A}.}

Ha A {\displaystyle A}

A

és B {\displaystyle B}

B

van mögöttes halmaz, és f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

f:A\to B

inverze g {\displaystyle g}

g

, akkor f {\displaystyle f}

f

bijektív. Valójában f {\displaystyle f}

f

injektív, mivel f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}

f(x)=f(y)

implikálja, hogy x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

{\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

, és f {\displaystyle f}

f

szurjektív, mivel bármely x {\displaystyle x}

x

esetén a B {\displaystyle B}

B

, akkor x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}

{\displaystyle x=f(g(x))}

, és x {\displaystyle x}

x

az A {\displaystyle A} egyik elemének képe.

A

.

Megfordítva, ha f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

f:A\to B

egy algebrai struktúrák közötti bijektív homomorfizmus, legyen g : B → A {\displaystyle g:B\to A}

{\displaystyle g:B\to A}

legyen az a leképezés, hogy g ( y ) {\displaystyle g(y)}

g(y)

az A {\displaystyle A}

x

egyetlen x {\displaystyle x}

x

eleme.

A

olyan, hogy f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}

{\displaystyle f(x)=y}

. Van f ∘ g = Id B és g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ és }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}

{\displaystyle f\circ g=\operatornév {Id} _{B}{\text{ és }}g\circ f=\operatornév {Id} _{A},}

és már csak azt kell megmutatni, hogy g homomorfizmus. Ha ∗ {\displaystyle *}

*

a struktúra bináris művelete, minden x {\displaystyle x}

x

, y {\displaystyle y} párra

y

elemeinek B {\displaystyle B}

B

, akkor g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( g ( x ) ) ) ∗ B f ( g ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y)),}

{\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}

és g {\displaystyle g}

g

tehát összeegyeztethető ∗ . {\displaystyle *.}

{\displaystyle *.}

Mivel a bizonyítás bármely aritásra hasonló, ez azt mutatja, hogy g {\displaystyle g}

g

egy homomorfizmus.

Ez a bizonyítás nem működik nem-algebrai struktúrákra. Például topológiai terek esetén a morfizmus egy folytonos leképezés, és egy bijektív folytonos leképezés inverze nem feltétlenül folytonos. A topológiai terek izomorfizmusa, amelyet homeomorfizmusnak vagy bikontinuus térképnek nevezünk, tehát egy bijektív folytonos térkép, amelynek inverze szintén folytonos.

EndomorfizmusSzerkesztés

Az endomorfizmus olyan homomorfizmus, amelynek tartománya megegyezik a kodomorfizmussal, vagy általánosabban olyan morfizmus, amelynek forrása megegyezik a céljával.:135

Egy algebrai struktúra vagy egy kategória objektumának endomorfizmusai kompozíció alatt monoidot alkotnak.

Egy vektortér vagy egy modul endomorfizmusai gyűrűt alkotnak. Véges dimenziójú vektortér vagy szabad modul esetén a bázis megválasztása gyűrűizomorfizmust indukál az endomorfizmusok gyűrűje és az azonos dimenziójú négyzetmátrixok gyűrűje között.

AutomorfizmusSzerkesztés

Az automorfizmus olyan endomorfizmus, amely egyben izomorfizmus is.:135

Egy algebrai struktúra vagy egy kategória objektumának automorfizmusai kompozíció alatt egy csoportot alkotnak, amelyet a struktúra automorfizmuscsoportjának nevezünk.

Sok csoport, amely nevet kapott, valamilyen algebrai struktúra automorfizmuscsoportja. Például az általános lineáris csoport GL n ( k ) {\displaystyle \operatornév {GL} _{n}(k)}

{\displaystyle \operatornév {GL} _{n}(k)}

egy n dimenziós vektortér automorfizmuscsoportja {\displaystyle n}

n

egy k mező felett {\displaystyle k}

k

.

A mezők automorfizmuscsoportjait Évariste Galois vezette be a polinomok gyökeinek tanulmányozására, és ezek képezik a Galois-elmélet alapját.

MonomorfizmusSzerkesztés

Algebrai struktúrák esetében a monomorfizmusokat általában injektív homomorfizmusokként definiálják:134 :29

A kategóriaelmélet általánosabb összefüggésében a monomorfizmus olyan morfizmus, amely balra törölhető. Ez azt jelenti, hogy egy (homo)morfizmus f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

f:A \to B

monomorfizmus, ha bármely g {\displaystyle g} párhoz

g

, h {\displaystyle h}

h

morfizmusok bármely más C {\displaystyle C}

C

és A {\displaystyle A} között.

A

, akkor f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}

f \circ g = f \circ h

implikálja, hogy g = h {\displaystyle g=h}

g=h

.

A monomorfizmus e két definíciója minden gyakori algebrai struktúrára egyenértékű. Pontosabban, ekvivalensek mezőkre, amelyekre minden homomorfizmus monomorfizmus, és az univerzális algebra fajtáira, azaz olyan algebrai struktúrákra, amelyekre a műveletek és axiómák (azonosságok) korlátozás nélkül definiáltak (a mezők nem fajták, mivel a multiplikatív inverz vagy unáris műveletként, vagy a szorzás tulajdonságaként definiált, amelyek mindkét esetben csak a nem nulla elemekre definiáltak).

Különösen a monomorfizmus két definíciója ekvivalens halmazokra, magmákra, félcsoportokra, monoidokra, csoportokra, gyűrűkre, mezőkre, vektortérre és modulokra.

A kettéosztott monomorfizmus olyan homomorfizmus, amelynek van egy bal inverze, és így maga is jobb inverze ennek a másik homomorfizmusnak. Vagyis egy f : A → B homomorfizmus {\displaystyle f\colon A\to B}

f\colon A \to B

egy osztott monomorfizmus, ha létezik egy homomorfizmus g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}

{\displaystyle g\colon B\to A}

olyan, hogy g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}

{\displaystyle g\circ f=\operatornév {Id} _{A}.}

Egy osztott monomorfizmus mindig monomorfizmus, a monomorfizmus mindkét jelentése esetén. Halmazok és vektorterek esetén minden monomorfizmus osztott monomorfizmus, de ez a tulajdonság nem érvényes a legtöbb gyakori algebrai struktúrára.

A monomorfizmusok két definíciója ekvivalenciájának bizonyítása

Egy injektív homomorfizmus balról törölhető: Ha f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

{\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

akkor f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

{\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

minden x {\displaystyle x}

esetén C-ben {\displaystyle C}

C

, a g közös forrása {\displaystyle g}

g

és h {\displaystyle h}

h

. Ha f {\displaystyle f}

f

injektív, akkor g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}

{\displaystyle g(x)=h(x)}

, és így g = h {\displaystyle g=h}

g=h

. Ez a bizonyítás nemcsak algebrai struktúrákra működik, hanem bármely olyan kategóriára, amelynek objektumai halmazok, a nyilak pedig e halmazok közötti leképezések. Például egy injektív folytonos térkép egy monomorfizmus a topológiai terek kategóriájában.

Annak bizonyítására, hogy fordítva, egy balról megszüntethető homomorfizmus injektív, hasznos, ha egy szabad objektumot tekintünk x-en {\displaystyle x}

x

. Egy algebrai struktúrák sokaságát tekintve egy szabad objektum x-en {\displaystyle x}

x

egy pár, amely egy L {\displaystyle L} algebrai struktúrából áll.

L

és az L {\displaystyle L}

x

egy x {\displaystyle x}

x

eleméből áll.

L

, amely kielégíti a következő univerzális tulajdonságot: minden S {\displaystyle S} struktúrára

S

és minden s {\displaystyle s} elemhez

s

az S {\displaystyle S}

S

, létezik egy egyedi f homomorfizmus : L → S {\displaystyle f:L\to S}

{\displaystyle f:L\to S}

olyan, hogy f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}

{\displaystyle f(x)=s}

. Például halmazok esetén az x-re vonatkozó szabad objektum {\displaystyle x}

x

egyszerűen { x } {\displaystyle \{x\}}

\{x\}

; félcsoportok esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}

x

az { x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

{\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

amely, mint félcsoport, izomorf a pozitív egész számok additív félcsoportjával; monoidok esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}

x

az { 1 , x , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

{\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

amely, mint monoid, izomorf a nemnegatív egészek additív monoidjával; csoportok esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}

x

a végtelen ciklikus csoport { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

{\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

amely, mint csoport, izomorf az egész számok additív csoportjával; gyűrűk esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}

x

} a Z polinomgyűrű ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}

{\displaystyle \mathbb {Z} ;}

vektortér vagy modul esetén az x {\displaystyle x}

x

szabad objektum az a vektortér vagy szabad modul, amelynek x {\displaystyle x}

x

az alapja.

Ha létezik egy szabad objektum x {\displaystyle x}

x

felett, akkor minden balról törölhető homomorfizmus injektív: legyen f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

f\colon A \to B

legyen egy balról törölhető homomorfizmus, és a {\displaystyle a}

a

és b {\displaystyle b}

b

legyen A két eleme.

A

olyan f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}

f(a) = f(b)

. Az F szabad objektum definíciója szerint {\displaystyle F}

F

, léteznek homomorfizmusok g {\displaystyle g}

g

és h {\displaystyle h}

h

F-ből {\displaystyle F}

F

az A {\displaystyle A}

A

úgy, hogy g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}

{\displaystyle g(x)=a}

és h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}

{\displaystyle h(x)=b}

. Mivel f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

{\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

, akkor f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

{\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

az univerzális tulajdonság definíciójában szereplő egyediség révén. Mivel f {\displaystyle f}

f

balra törölhető, akkor g = h {\displaystyle g=h}

g=h

, és így a = b {\displaystyle a=b}

a=b

. Ezért f {\displaystyle f}

f

injektív.

Egy szabad objektum létezése x-en {\displaystyle x}

x

egy fajtára (lásd még Szabad objektum § Létezés): Az x feletti szabad objektum {\displaystyle x}

x

felépítéséhez tekintsük a W {\displaystyle W} halmazt.

W

az x {\displaystyle x}

x

-ből felépített jólformált formulák és a szerkezet műveletei. Két ilyen formulát akkor mondunk ekvivalensnek, ha az axiómák (a struktúra azonosságai) alkalmazásával egyikből a másikba át lehet lépni. Ez akkor definiál ekvivalencia relációt, ha az azonosságoknak nincsenek feltételei, vagyis ha egy fajtával dolgozunk. Ekkor a változat műveletei jól definiáltak a W {\displaystyle W} ekvivalenciaosztályainak halmazán.

W

erre a relációra. Egyszerű megmutatni, hogy a kapott objektum egy szabad objektum a W {\displaystyle W}

W

.

EpimorfizmusSzerkesztés

Az algebrában az epimorfizmusokat gyakran szurjektív homomorfizmusokként definiálják.:134:43 Másrészt a kategóriaelméletben az epimorfizmusokat jobbra eltörölhető morfizmusokként definiálják. Ez azt jelenti, hogy egy f : A → B (homo)morfizmus {\displaystyle f:A\to B}

f:A\to B

epimorfizmus, ha bármely g {\displaystyle g} párra

g

, h {\displaystyle h}

h

morfizmusok B {\displaystyle B}

B

bármely más objektumra C {\displaystyle C}

C

, az egyenlőség g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

g \circ f = h \circ f

implikálja g = h {\displaystyle g=h}

g=h

.

Egy szurjektív homomorfizmus mindig jobbra törölhető, de algebrai struktúrákra nem mindig igaz a fordítottja. Az epimorfizmus két definíciója azonban ekvivalens halmazokra, vektorterekre, abéliumi csoportokra, modulokra (a bizonyítást lásd alább) és csoportokra. E struktúrák fontossága az egész matematikában, de különösen a lineáris algebrában és a homologikus algebrában magyarázhatja a két nem ekvivalens definíció együttes létezését.

Az algebrai struktúrák, amelyekre léteznek nem-szurjektív epimorfizmusok, közé tartoznak a félcsoportok és a gyűrűk. A legalapvetőbb példa az egész számok racionális számokba való bevonása, amely a gyűrűk és a multiplikatív félcsoportok homomorfizmusa. Mindkét struktúra esetében monomorfizmus és nem szurjektív epimorfizmus, de nem izomorfizmus.

Ez a példa széleskörű általánosítása egy gyűrű lokalizációja egy multiplikatív halmazzal. Minden lokalizáció egy gyűrűepimorfizmus, ami általában nem szürjektív. Mivel a lokalizációk alapvető fontosságúak a kommutatív algebrában és az algebrai geometriában, ez magyarázhatja, hogy ezeken a területeken általában az epimorfizmusok jobbra eltörölhető homomorfizmusokként való definícióját részesítik előnyben.

A hasadt epimorfizmus olyan homomorfizmus, amelynek van egy jobb inverze, és így maga is ennek a másik homomorfizmusnak a bal inverze. Vagyis egy f : A → B homomorfizmus {\displaystyle f\colon A\to B}

f\colon A \to B

egy osztott epimorfizmus, ha létezik egy homomorfizmus g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}

{\displaystyle g\colon B\to A}

úgy, hogy f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatornév {Id} _{B}.}

{\displaystyle f\circ g=\operatornév {Id} _{B}.}

Egy osztott epimorfizmus mindig epimorfizmus, az epimorfizmus mindkét jelentése esetén. Halmazok és vektorterek esetén minden epimorfizmus osztott epimorfizmus, de ez a tulajdonság nem érvényes a legtöbb gyakori algebrai struktúrára.

Összefoglalva:

osztott epimorfizmus ⟹ epimorfizmus (szurjektív) ⟹ epimorfizmus (jobbra törölhető) ; {\displaystyle {\text{osztott epimorfizmus}\implies {\text{epimorfizmus (szurjektív)}}\\implies {\text{epimorfizmus (jobbra törölhető)}};}

{\displaystyle {\text{split epimorfizmus}}\implies {\text{epimorfizmus (szurjektív)}}\implies {\text{epimorfizmus (jobbra törölhető)}};}

az utolsó implikáció ekvivalencia halmazokra, vektorterekre, modulokra és abel-csoportokra; az első implikáció ekvivalencia halmazokra és vektorterekre.

Az epimorfizmus két definíciójának egyenértékűsége

Legyen f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

f\colon A \to B

legyen egy homomorfizmus. Be akarjuk bizonyítani, hogy ha nem szürjektív, akkor nem jobbra törölhető.

A halmazok esetében legyen b {\displaystyle b}

b

B {\displaystyle B} egy eleme.

B

, amely nem tartozik f ( A){\displaystyle f(A)}

f(A)

, és definiáljuk g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}

{\displaystyle g,h\colon B\to B}

úgy, hogy g {\displaystyle g}

g

az azonossági függvény, és hogy h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}

{\displaystyle h(x)=x}

minden x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}

{\displaystyle x\in B,}

kivéve, hogy h ( b ) {\displaystyle h(b)}

{\displaystyle h(b)}

B bármely más eleme {\displaystyle B}

B

. Nyilvánvaló, hogy f {\displaystyle f}

f

nem törölhető jobbra, mivel g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

{\displaystyle g\neq h}

és g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}

{\displaystyle g\circ f=h\circ f.}

Vektortér, abéliumi csoportok és modulok esetén a bizonyítás a kokernelek létezésére és arra támaszkodik, hogy a zérustérképek homomorfizmusok: legyen C {\displaystyle C}

C

legyen az f {\displaystyle f} kokernele.

f

, és g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}

{\displaystyle g\colon B\to C}

legyen a kanonikus leképezés, úgy, hogy g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}

{\displaystyle g(f(A))=0}

. Legyen h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}

{\displaystyle h\colon B\to C}

legyen a zérustérkép. Ha f {\displaystyle f}

f

nem szurjektív, akkor C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}

{\displaystyle C\neq 0}

, és így g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

{\displaystyle g\neq h}

(az egyik egy zérustérkép, míg a másik nem). Tehát f {\displaystyle f}

f

nem törölhető, mivel g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

g \circ f = h \circ f

(mindkettő az A {\displaystyle A} nulla leképezése

A

a C {\displaystyle C}

C

).

Leave a Reply