Homomorfizmus
A homomorfizmusok több fajtájának van sajátos neve, amelyet az általános morfizmusokra is definiálnak.
IzomorfizmusSzerkesztés
Az azonos típusú algebrai struktúrák közötti izomorfizmust általában bijektív homomorfizmusként definiálják.:134 :28
A kategóriaelmélet általánosabb kontextusában az izomorfizmus olyan morfizmus, amelynek van inverze, amely szintén morfizmus. Az algebrai struktúrák speciális esetében a két definíció ekvivalens, bár nem-algebrai struktúrák esetében, amelyek mögöttes halmazzal rendelkeznek, eltérhetnek.
Pontosabban, ha
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
egy (homo)morfizmus, akkor van inverze, ha létezik egy homomorfizmus
g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
olyan, hogy
f ∘ g = Id B és g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{és}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Ha A {\displaystyle A}
és B {\displaystyle B}
van mögöttes halmaz, és f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
inverze g {\displaystyle g}
, akkor f {\displaystyle f}
bijektív. Valójában f {\displaystyle f}
injektív, mivel f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
implikálja, hogy x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}
, és f {\displaystyle f}
szurjektív, mivel bármely x {\displaystyle x}
esetén a B {\displaystyle B}
, akkor x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, és x {\displaystyle x}
az A {\displaystyle A} egyik elemének képe.
.
Megfordítva, ha f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
egy algebrai struktúrák közötti bijektív homomorfizmus, legyen g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
legyen az a leképezés, hogy g ( y ) {\displaystyle g(y)}
az A {\displaystyle A}
egyetlen x {\displaystyle x}
eleme.
olyan, hogy f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. Van f ∘ g = Id B és g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ és }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}
és már csak azt kell megmutatni, hogy g homomorfizmus. Ha ∗ {\displaystyle *}
a struktúra bináris művelete, minden x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y} párra
elemeinek B {\displaystyle B}
, akkor g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( g ( x ) ) ) ∗ B f ( g ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y)),}
és g {\displaystyle g}
tehát összeegyeztethető ∗ . {\displaystyle *.}
Mivel a bizonyítás bármely aritásra hasonló, ez azt mutatja, hogy g {\displaystyle g}
egy homomorfizmus.
Ez a bizonyítás nem működik nem-algebrai struktúrákra. Például topológiai terek esetén a morfizmus egy folytonos leképezés, és egy bijektív folytonos leképezés inverze nem feltétlenül folytonos. A topológiai terek izomorfizmusa, amelyet homeomorfizmusnak vagy bikontinuus térképnek nevezünk, tehát egy bijektív folytonos térkép, amelynek inverze szintén folytonos.
EndomorfizmusSzerkesztés
Az endomorfizmus olyan homomorfizmus, amelynek tartománya megegyezik a kodomorfizmussal, vagy általánosabban olyan morfizmus, amelynek forrása megegyezik a céljával.:135
Egy algebrai struktúra vagy egy kategória objektumának endomorfizmusai kompozíció alatt monoidot alkotnak.
Egy vektortér vagy egy modul endomorfizmusai gyűrűt alkotnak. Véges dimenziójú vektortér vagy szabad modul esetén a bázis megválasztása gyűrűizomorfizmust indukál az endomorfizmusok gyűrűje és az azonos dimenziójú négyzetmátrixok gyűrűje között.
AutomorfizmusSzerkesztés
Az automorfizmus olyan endomorfizmus, amely egyben izomorfizmus is.:135
Egy algebrai struktúra vagy egy kategória objektumának automorfizmusai kompozíció alatt egy csoportot alkotnak, amelyet a struktúra automorfizmuscsoportjának nevezünk.
Sok csoport, amely nevet kapott, valamilyen algebrai struktúra automorfizmuscsoportja. Például az általános lineáris csoport GL n ( k ) {\displaystyle \operatornév {GL} _{n}(k)}
egy n dimenziós vektortér automorfizmuscsoportja {\displaystyle n}
egy k mező felett {\displaystyle k}
.
A mezők automorfizmuscsoportjait Évariste Galois vezette be a polinomok gyökeinek tanulmányozására, és ezek képezik a Galois-elmélet alapját.
MonomorfizmusSzerkesztés
Algebrai struktúrák esetében a monomorfizmusokat általában injektív homomorfizmusokként definiálják:134 :29
A kategóriaelmélet általánosabb összefüggésében a monomorfizmus olyan morfizmus, amely balra törölhető. Ez azt jelenti, hogy egy (homo)morfizmus f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
monomorfizmus, ha bármely g {\displaystyle g} párhoz
, h {\displaystyle h}
morfizmusok bármely más C {\displaystyle C}
és A {\displaystyle A} között.
, akkor f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
implikálja, hogy g = h {\displaystyle g=h}
.
A monomorfizmus e két definíciója minden gyakori algebrai struktúrára egyenértékű. Pontosabban, ekvivalensek mezőkre, amelyekre minden homomorfizmus monomorfizmus, és az univerzális algebra fajtáira, azaz olyan algebrai struktúrákra, amelyekre a műveletek és axiómák (azonosságok) korlátozás nélkül definiáltak (a mezők nem fajták, mivel a multiplikatív inverz vagy unáris műveletként, vagy a szorzás tulajdonságaként definiált, amelyek mindkét esetben csak a nem nulla elemekre definiáltak).
Különösen a monomorfizmus két definíciója ekvivalens halmazokra, magmákra, félcsoportokra, monoidokra, csoportokra, gyűrűkre, mezőkre, vektortérre és modulokra.
A kettéosztott monomorfizmus olyan homomorfizmus, amelynek van egy bal inverze, és így maga is jobb inverze ennek a másik homomorfizmusnak. Vagyis egy f : A → B homomorfizmus {\displaystyle f\colon A\to B}
egy osztott monomorfizmus, ha létezik egy homomorfizmus g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
olyan, hogy g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Egy osztott monomorfizmus mindig monomorfizmus, a monomorfizmus mindkét jelentése esetén. Halmazok és vektorterek esetén minden monomorfizmus osztott monomorfizmus, de ez a tulajdonság nem érvényes a legtöbb gyakori algebrai struktúrára.
Egy injektív homomorfizmus balról törölhető: Ha f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
akkor f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
minden x {\displaystyle x}
esetén C-ben {\displaystyle C}
, a g közös forrása {\displaystyle g}
és h {\displaystyle h}
. Ha f {\displaystyle f}
injektív, akkor g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}
, és így g = h {\displaystyle g=h}
. Ez a bizonyítás nemcsak algebrai struktúrákra működik, hanem bármely olyan kategóriára, amelynek objektumai halmazok, a nyilak pedig e halmazok közötti leképezések. Például egy injektív folytonos térkép egy monomorfizmus a topológiai terek kategóriájában.
Annak bizonyítására, hogy fordítva, egy balról megszüntethető homomorfizmus injektív, hasznos, ha egy szabad objektumot tekintünk x-en {\displaystyle x}
. Egy algebrai struktúrák sokaságát tekintve egy szabad objektum x-en {\displaystyle x}
egy pár, amely egy L {\displaystyle L} algebrai struktúrából áll.
és az L {\displaystyle L}
egy x {\displaystyle x}
eleméből áll.
, amely kielégíti a következő univerzális tulajdonságot: minden S {\displaystyle S} struktúrára
és minden s {\displaystyle s} elemhez
az S {\displaystyle S}
, létezik egy egyedi f homomorfizmus : L → S {\displaystyle f:L\to S}
olyan, hogy f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. Például halmazok esetén az x-re vonatkozó szabad objektum {\displaystyle x}
egyszerűen { x } {\displaystyle \{x\}}
; félcsoportok esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}
az { x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
amely, mint félcsoport, izomorf a pozitív egész számok additív félcsoportjával; monoidok esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}
az { 1 , x , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
amely, mint monoid, izomorf a nemnegatív egészek additív monoidjával; csoportok esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}
a végtelen ciklikus csoport { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
amely, mint csoport, izomorf az egész számok additív csoportjával; gyűrűk esetén az x szabad objektuma {\displaystyle x}
} a Z polinomgyűrű ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
vektortér vagy modul esetén az x {\displaystyle x}
szabad objektum az a vektortér vagy szabad modul, amelynek x {\displaystyle x}
az alapja.
Ha létezik egy szabad objektum x {\displaystyle x}
felett, akkor minden balról törölhető homomorfizmus injektív: legyen f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
legyen egy balról törölhető homomorfizmus, és a {\displaystyle a}
és b {\displaystyle b}
legyen A két eleme.
olyan f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Az F szabad objektum definíciója szerint {\displaystyle F}
, léteznek homomorfizmusok g {\displaystyle g}
és h {\displaystyle h}
F-ből {\displaystyle F}
az A {\displaystyle A}
úgy, hogy g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
és h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}
. Mivel f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, akkor f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
az univerzális tulajdonság definíciójában szereplő egyediség révén. Mivel f {\displaystyle f}
balra törölhető, akkor g = h {\displaystyle g=h}
, és így a = b {\displaystyle a=b}
. Ezért f {\displaystyle f}
injektív.
Egy szabad objektum létezése x-en {\displaystyle x}
egy fajtára (lásd még Szabad objektum § Létezés): Az x feletti szabad objektum {\displaystyle x}
felépítéséhez tekintsük a W {\displaystyle W} halmazt.
az x {\displaystyle x}
-ből felépített jólformált formulák és a szerkezet műveletei. Két ilyen formulát akkor mondunk ekvivalensnek, ha az axiómák (a struktúra azonosságai) alkalmazásával egyikből a másikba át lehet lépni. Ez akkor definiál ekvivalencia relációt, ha az azonosságoknak nincsenek feltételei, vagyis ha egy fajtával dolgozunk. Ekkor a változat műveletei jól definiáltak a W {\displaystyle W} ekvivalenciaosztályainak halmazán.
erre a relációra. Egyszerű megmutatni, hogy a kapott objektum egy szabad objektum a W {\displaystyle W}
.
EpimorfizmusSzerkesztés
Az algebrában az epimorfizmusokat gyakran szurjektív homomorfizmusokként definiálják.:134:43 Másrészt a kategóriaelméletben az epimorfizmusokat jobbra eltörölhető morfizmusokként definiálják. Ez azt jelenti, hogy egy f : A → B (homo)morfizmus {\displaystyle f:A\to B}
epimorfizmus, ha bármely g {\displaystyle g} párra
, h {\displaystyle h}
morfizmusok B {\displaystyle B}
bármely más objektumra C {\displaystyle C}
, az egyenlőség g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
implikálja g = h {\displaystyle g=h}
.
Egy szurjektív homomorfizmus mindig jobbra törölhető, de algebrai struktúrákra nem mindig igaz a fordítottja. Az epimorfizmus két definíciója azonban ekvivalens halmazokra, vektorterekre, abéliumi csoportokra, modulokra (a bizonyítást lásd alább) és csoportokra. E struktúrák fontossága az egész matematikában, de különösen a lineáris algebrában és a homologikus algebrában magyarázhatja a két nem ekvivalens definíció együttes létezését.
Az algebrai struktúrák, amelyekre léteznek nem-szurjektív epimorfizmusok, közé tartoznak a félcsoportok és a gyűrűk. A legalapvetőbb példa az egész számok racionális számokba való bevonása, amely a gyűrűk és a multiplikatív félcsoportok homomorfizmusa. Mindkét struktúra esetében monomorfizmus és nem szurjektív epimorfizmus, de nem izomorfizmus.
Ez a példa széleskörű általánosítása egy gyűrű lokalizációja egy multiplikatív halmazzal. Minden lokalizáció egy gyűrűepimorfizmus, ami általában nem szürjektív. Mivel a lokalizációk alapvető fontosságúak a kommutatív algebrában és az algebrai geometriában, ez magyarázhatja, hogy ezeken a területeken általában az epimorfizmusok jobbra eltörölhető homomorfizmusokként való definícióját részesítik előnyben.
A hasadt epimorfizmus olyan homomorfizmus, amelynek van egy jobb inverze, és így maga is ennek a másik homomorfizmusnak a bal inverze. Vagyis egy f : A → B homomorfizmus {\displaystyle f\colon A\to B}
egy osztott epimorfizmus, ha létezik egy homomorfizmus g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
úgy, hogy f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatornév {Id} _{B}.}
Egy osztott epimorfizmus mindig epimorfizmus, az epimorfizmus mindkét jelentése esetén. Halmazok és vektorterek esetén minden epimorfizmus osztott epimorfizmus, de ez a tulajdonság nem érvényes a legtöbb gyakori algebrai struktúrára.
Összefoglalva:
osztott epimorfizmus ⟹ epimorfizmus (szurjektív) ⟹ epimorfizmus (jobbra törölhető) ; {\displaystyle {\text{osztott epimorfizmus}\implies {\text{epimorfizmus (szurjektív)}}\\implies {\text{epimorfizmus (jobbra törölhető)}};}
az utolsó implikáció ekvivalencia halmazokra, vektorterekre, modulokra és abel-csoportokra; az első implikáció ekvivalencia halmazokra és vektorterekre.
Legyen f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
legyen egy homomorfizmus. Be akarjuk bizonyítani, hogy ha nem szürjektív, akkor nem jobbra törölhető.
A halmazok esetében legyen b {\displaystyle b}
B {\displaystyle B} egy eleme.
, amely nem tartozik f ( A){\displaystyle f(A)}
, és definiáljuk g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}
úgy, hogy g {\displaystyle g}
az azonossági függvény, és hogy h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
minden x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
kivéve, hogy h ( b ) {\displaystyle h(b)}
B bármely más eleme {\displaystyle B}
. Nyilvánvaló, hogy f {\displaystyle f}
nem törölhető jobbra, mivel g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
és g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}
Vektortér, abéliumi csoportok és modulok esetén a bizonyítás a kokernelek létezésére és arra támaszkodik, hogy a zérustérképek homomorfizmusok: legyen C {\displaystyle C}
legyen az f {\displaystyle f} kokernele.
, és g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}
legyen a kanonikus leképezés, úgy, hogy g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}
. Legyen h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}
legyen a zérustérkép. Ha f {\displaystyle f}
nem szurjektív, akkor C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}
, és így g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
(az egyik egy zérustérkép, míg a másik nem). Tehát f {\displaystyle f}
nem törölhető, mivel g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
(mindkettő az A {\displaystyle A} nulla leképezése
a C {\displaystyle C}
).
Leave a Reply