Homeomorfizmus

Topológiai tér

A topológia egyik legalapvetőbb szerkezeti fogalma, hogy egy X halmazt topológiai térré alakítunk X részhalmazainak T gyűjteményének megadásával.Egy ilyen gyűjteménynek három axiómának kell megfelelnie: (1) maga X halmaz és az üres halmaz a T tagja, (2) a T-ben lévő bármely véges számú halmaz metszete a T-ben van, és (3) a T-ben lévő halmazok bármely gyűjteményének uniója a T-ben van. A T-ben lévő halmazokat nyílt halmazoknak nevezzük, a T-t pedig X topológiájának. Például a valós számsor akkor válik topológiai térré, ha a topológiáját úgy határozzuk meg, mint a nyitott intervallumok összes lehetséges egyesülésének gyűjteményét – például (-5, 2), (1/2, π), (0,√2 négyzetgyöke), ….. (Egy analóg folyamat eredménye egy metrikus tér topológiája.) Más példák a halmazok topológiáira tisztán halmazelméleti szempontból fordulnak elő. Például egy X halmaz összes részhalmazának gyűjteményét X diszkrét topológiájának nevezzük, a csak az üres halmazból és magából X-ből álló gyűjtemény pedig az X diszkrét vagy triviális topológiáját alkotja. Egy adott topológiai tér más rokon topológiai tereket eredményez. Például egy X topológiai tér A részhalmaza örököl egy topológiát, az úgynevezett relatív topológiát X-től, ha A nyitott halmazait A és X nyitott halmazainak metszéspontjainak tekintjük. A topológiai terek óriási változatossága gazdag forrása a példáknak, amelyekkel általános tételek motiválhatók, valamint ellenpéldáknak, amelyekkel hamis feltételezések bizonyíthatók. Továbbá a topológiai terekre vonatkozó axiómák általánossága lehetővé teszi a matematikusok számára, hogy sokféle matematikai struktúrát, például az analízisben a függvények gyűjteményeit, topológiai tereknek tekintsék, és ezáltal új módon magyarázzák a kapcsolódó jelenségeket.

A topológiai teret egy alternatív axiómacsoporttal is meg lehet határozni, amely zárt halmazokat foglal magában, amelyek a nyílt halmazok komplementerei. A topológiai elképzelések korai megfontolásában, különösen az n-dimenziós euklideszi térben lévő objektumok esetében, a zárt halmazok természetesen a végtelen sorozatok konvergenciájának vizsgálata során merültek fel (lásd végtelen sorozatok). Gyakran kényelmes vagy hasznos egy topológia számára extra axiómákat feltételezni, hogy olyan eredményeket állapítsunk meg, amelyek a topológiai terek egy jelentős osztályára érvényesek, de nem minden topológiai térre. Az egyik ilyen axióma megköveteli, hogy két különböző pontnak diszjunkt nyitott halmazokhoz kell tartoznia. Az ezt az axiómát kielégítő topológiai teret Hausdorff-térnek nevezzük.