Hilbert-tér

Hilbert-tér, a matematikában egy végtelen dimenziós tér, amely nagy hatással volt az analízisre és a topológiára. David Hilbert német matematikus írta le először ezt a teret az integrálegyenletekkel és Fourier-sorozatokkal foglalkozó munkájában, amely 1902-12 között foglalkoztatta.

Bővebben ebben a témában

topológia: A topológia története

…a végtelen dimenziós Hilbert-tér topológiai tulajdonságai. Ezek az erőfeszítések előrevetítették a topológia egy új területét, amely most…

A Hilbert-tér pontjai olyan valós számok végtelen sorozata (x1, x2, x3, …), amelyek négyzetesen összegezhetők, vagyis amelyekre az x12 + x22 + x32 + x32 + … végtelen sorozat valamilyen véges számhoz konvergál. Az n-dimenziós euklideszi térrel közvetlen analógiában a Hilbert-tér egy olyan vektortér, amelynek van egy természetes belső szorzata, vagy pontszorzata, amely távolságfüggvényt ad. E távolságfüggvény alatt teljes metrikus térré válik, és így példa arra, amit a matematikusok teljes belső szorzatú térnek neveznek.

Nem sokkal Hilbert vizsgálata után Ernst Fischer osztrák-német matematikus és Riesz Frigyes magyar matematikus bebizonyította, hogy a négyzetesen integrálható függvények (olyan függvények, amelyek abszolút értékük négyzetének integrálása véges) szintén “pontoknak” tekinthetők a Hilbert-térrel egyenértékű teljes belső szorzatú térben. Ezzel összefüggésben a Hilbert-tér szerepet játszott a kvantummechanika fejlődésében, és azóta is fontos matematikai eszköz az alkalmazott matematikában és a matematikai fizikában.

Az analízisben a Hilbert-tér felfedezése vezette be a funkcionálanalízist, egy új területet, amelyben a matematikusok egészen általános lineáris terek tulajdonságait tanulmányozzák. E terek közé tartoznak a teljes belső szorzatú terek, amelyeket ma Hilbert-térnek nevezünk, ezt az elnevezést először 1929-ben John von Neumann magyar-amerikai matematikus használta e terek absztrakt axiomatikus leírására. A Hilbert-tér a topológia gazdag gondolatainak is forrása volt. Mint metrikus tér, a Hilbert-tér végtelen dimenziós lineáris topológiai térnek tekinthető, és topológiai tulajdonságaival kapcsolatos fontos kérdések merültek fel a 20. század első felében. Kezdetben a Hilbert-tér ilyen tulajdonságai által motiválva a kutatók az 1960-as és 70-es években létrehozták a topológia új részterületét, a végtelen dimenziós topológiát.