Gyroid

A gyroid a Schwarz P és D felületek társított családjának egyetlen nem triviális beágyazott tagja. A D felülethez viszonyított asszociációs szöge körülbelül 38,01°. A gyroid hasonlít a lidinoidhoz. A gyroidot 1970-ben fedezte fel Alan Schoen, a NASA tudósa. Kiszámította az asszociációs szöget, és meggyőzően bemutatta a bonyolult plasztikus modellek képeit, de a beágyazottságot nem bizonyította. Schoen megjegyezte, hogy a gyroid nem tartalmaz sem egyenes vonalakat, sem síkszimmetriákat. Karcher 1989-ben egy másik, korszerűbb kezelést adott a felületről, konjugált felületkonstrukciót használva. 1996-ban Große-Brauckmann és Wohlgemuth bebizonyította, hogy beágyazott. 1997-ben Große-Brauckmann megadta a gyroid CMC-változatait, és további numerikus vizsgálatokat végzett a minimális és CMC (állandó átlagos görbületű) gyroidok térfogattöredékeiről.

A gyroid a teret két ellentétesen kongruens járatlabirintusra osztja. A gyroid az I4132-es tércsoportba tartozik (214-es szám). A gyroid labirintusokon (100) és (111) irányban csatornák futnak keresztül; a folyosók 70,5 fokos szögben lépnek ki bármelyik csatornával szemben, amikor azt átszelik, és az irány, amelyben ezt teszik, a csatornán lefelé gyűrűzik, innen ered a “gyroid” elnevezés. A felszín szemléltetésének egyik módja, ha a P felszín “négyzetkatenoidjait” képzeljük el (két párhuzamos síkban elhelyezkedő négyzet alkotja, közel kör alakú derékkal); a négyzet szélei körüli forgás hozza létre a P felszínt. Az asszociált családban ezek a négyzetes katenoidok “szétnyílnak” (hasonlóan ahhoz, ahogyan a katenoid “szétnyílik” helikoiddá), hogy gyűrűs szalagokat alkossanak, majd végül a Schwarz D-felületté válnak. Az asszociatív család paraméterének egy értéke esetén a gyrating ribbons pontosan azokon a helyeken fekszenek, amelyek szükségesek a beágyazott felülethez.

A gyroid az egyetlen ismert beágyazott, háromszorosan periodikus minimálfelület, amely hármas csomópontokkal rendelkezik és nincsenek tükörszimmetriavonalai, ellentétben az Anderson és társai által 1990-ben vizsgált öt minimálfelülettel.

A gyroid arra a tagra utal, amely a Schwarz P felület társított családjában van, de valójában a gyroid több családban is létezik, amelyek megőrzik a felület különböző szimmetriáit; e minimális felületek családjainak teljesebb tárgyalása a Háromszorosan periodikus minimális felületek című fejezetben jelenik meg.

Furcsa módon, mint néhány más háromszorosan periodikus minimálfelület, a gyroidfelület trigonometrikusan közelíthető egy rövid egyenlet segítségével:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}