Gauss-felület

Példák érvényes (balra) és érvénytelen (jobbra) Gauss-felületekre. Balra: Néhány érvényes Gauss-felület a gömb, a tórusz és a kocka felülete. Ezek zárt felületek, amelyek teljesen körülölelnek egy 3D térfogatot. Jobbra: Néhány olyan felület, amely NEM használható Gauss-felületként, például a korongfelület, a négyzetfelület vagy a félgömbfelület. Ezek nem zárnak be teljesen egy 3D térfogatot, és vannak határaik (piros). Megjegyezzük, hogy a végtelen síkok közelíthetik a Gauss-felületeket.

A legtöbb Gauss-felületet használó számítás a Gauss-törvény (az elektromosságra vonatkozó) végrehajtásával kezdődik:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

Ezáltal Qenc a Gauss-felület által bezárt elektromos töltés.

Ez Gauss törvénye, amely egyesíti a divergencia-tételt és a Coulomb-törvényt.

GömbfelületSzerkesztés

A gömb alakú Gauss-felületet akkor használjuk, ha az elektromos mezőt vagy a keletkező áramlást az alábbiak bármelyikével határozzuk meg:

• pontos töltés
• egyenletesen eloszló gömbhéj töltés
• minden más gömbszimmetrikus töltéseloszlás

A gömbi Gauss-felületet úgy választjuk, hogy koncentrikus legyen a töltéseloszlással.

Példaként tekintsünk egy elhanyagolható vastagságú S töltött gömbhéjat, egyenletesen eloszló Q töltéssel és R sugárral. A Gauss-törvény segítségével meg tudjuk találni az eredő elektromos tér E nagyságát a töltött héj középpontjától r távolságra. Azonnal látható, hogy egy r < R sugarú gömb alakú Gauss-felület esetén a bezárt töltés nulla: így a nettó áramlás nulla, és a Gauss-felületen az elektromos tér nagysága is 0 (ha a Gauss-törvényben QA = 0, ahol QA a Gauss-felület által bezárt töltés).

Egy nagyobb, a héjon kívüli Gauss-felületet használva, ahol r > R, ugyanezen példánál a Gauss-törvény nem nulla elektromos teret fog eredményezni. Ezt a következőképpen határozzuk meg.

A gömbfelületből S kiáramlás:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}

Az r sugarú gömb felülete

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}

amiből következik

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

A Gauss-törvény alapján a fluxus is

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}

végül a ΦE-re vonatkozó kifejezést egyenlővé téve megkapjuk az E-tér nagyságát az r pozícióban:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}}{\varepsilon _{0}}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}

Ez a nem triviális eredmény azt mutatja, hogy bármely gömbi töltéseloszlás ponttöltésként viselkedik, ha a töltéseloszlás kívülről szemléljük; ez tulajdonképpen a Coulomb-törvény igazolása. És, mint említettük, bármilyen külső töltés nem számít.

Hengeres felületSzerkesztés

A hengeres Gauss-felületet akkor használjuk, ha az elektromos mezőt vagy a keletkező áramlást az alábbiak bármelyikével határozzuk meg:

• egy végtelen hosszú egyenletes töltésű vonal
• egy végtelen hosszú egyenletes töltésű sík
• egy végtelen hosszú egyenletes töltésű henger

Az alábbiakban egy “végtelen egyenletes töltés melletti mező” példát adunk;

Feldolgozunk egy P pontot, amely r távolságra van egy végtelen egyenletes töltéstől, amelynek töltéssűrűsége (töltés egységnyi hosszra vetítve) λ. Képzeljünk el egy henger alakú zárt felületet, amelynek forgástengelye a vonaltöltés. Ha h a henger hossza, akkor a hengerbe zárt töltés

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

,

ahol q a Gauss-felületbe zárt töltés. Az ábrán látható három a, b és c felület van. A differenciálvektor területe dA, mindegyik a, b és c felületen.

A henger alakú zárt felület, amelynek közepén vonali töltés van, és mindhárom felület dA differenciálterületét mutatja.

A múló fluxus három hozzájárulásból áll:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

A {\displaystyle \scriptstyle A\,\!}

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

A és b felületek esetén E és dA merőlegesek lesznek. c felület esetén E és dA párhuzamosak lesznek, ahogy az ábrán látható.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\\&=E\int \!\!\!\!\!\!\!\!\int _{c}dA\\\\\end{aligned}}}

A henger felülete

∫ ∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

ami azt jelenti

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

Gauss törvénye

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

különbség ΦE-re adódik

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}}}

Gauss pillboxEdit

Ezt a felületet leggyakrabban egy végtelen, egyenletes töltéssűrűségű töltéslap vagy egy valamilyen véges vastagságú töltéslemez okozta elektromos tér meghatározására használják. A pillbox henger alakú, és úgy gondolhatjuk, hogy három komponensből áll: a henger egyik végén lévő πR² területű korong, a másik végén lévő ugyanolyan területű korong és a henger oldala. A felület minden komponensén áthaladó elektromos fluxus összege a Gauss-törvény által diktált módon arányos a pillérdoboz zárt töltésével. Mivel a lemezhez közeli mezőt állandónak közelíthetjük, a pillepalackot úgy tájoljuk, hogy a mezővonalak merőleges szögben hatoljanak át a lemezeken a mező végein, a henger oldala pedig párhuzamos legyen a mezővonalakkal.