Gauge szimmetria (matematika)

A matematikában általában minden Lagrange-rendszer megenged mérőszimmetriákat, bár előfordulhat, hogy ezek triviálisak. Az elméleti fizikában a paraméterfüggvényektől függő gauge-szimmetriák fogalma a kortárs térelmélet egyik sarokköve.

Egy Lagrangian L {\displaystyle L} gauge-szimmetriája egy E {\displaystyle E} vektorkötegre vonatkozó differenciáloperátorként definiáljuk. , amely az L {\displaystyle L} (variációs vagy egzakt) szimmetriáinak lineáris terében veszi fel értékeit. . Tehát az L {\displaystyle L} az E {\displaystyle E} szakaszaitól függ. és azok parciális deriváltjaira. Ez például a klasszikus mezőelméletben a mérőszimmetriák esete. A Yang-Mills-féle gauge-elmélet és a gauge-gravitációs elmélet a gauge-szimmetriákkal rendelkező klasszikus mezőelméleteket példázza.

A gauge-szimmetriák a következő két sajátossággal rendelkeznek.

1. A Lagrange-szimmetriák lévén, a Lagrange-szimmetriák kielégítik az első Noether-tételt, de a megfelelő konzervált áram J μ {\displaystyle J^{\mu }} egy sajátos szuperpotenciális alakot vesz fel J μ = W μ + d ν U ν μ {\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }}} ahol az első tag W μ {\displaystyle W^{\mu }} eltűnik az Euler-Lagrange-egyenletek megoldásain, a második pedig egy peremfeltétel, ahol U ν μ μ {\displaystyle U^{\nu \mu }}} szuperpotenciálnak nevezzük.
2. A második Noether-tételnek megfelelően egy-az-egyhez megfeleltetés van egy Lagrange-operátor gauge-szimmetriái és a Noether-azonosságok között, amelyeket az Euler-Lagrange-operátor kielégít. Következésképpen a gauge-szimmetriák jellemzik egy Lagrange-rendszer degeneráltságát.

Megjegyezzük, hogy a kvantumtérelméletben egy generáló funkcionál nem invariáns a gauge-transzformációk alatt, és a gauge-szimmetriákat a BRST-szimmetriák helyettesítik a ghostoktól függő, a mezőkre és a ghostokra egyaránt ható BRST-szimmetriákkal.