Galois-elmélet

ElőzményekSzerkesztés

Galois elmélete a szimmetrikus függvények vizsgálatából indult ki – egy monikus polinom együtthatói (előjelig) a gyökök elemi szimmetrikus polinomok. Például (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, ahol 1, a + b és ab a 0, 1 és 2 fokú elemi polinomok két változóban.

Ezt először a 16. századi francia matematikus, François Viète formalizálta Viète formuláiban, pozitív valós gyökök esetére. A 18. századi brit matematikus, Charles Hutton szerint egy polinom együtthatóinak a gyökökkel való kifejezését (nem csak pozitív gyökök esetén) először a 17. századi francia matematikus, Albert Girard értette meg; Hutton írja:

… az első, aki megértette a hatványok együtthatóinak a gyökök összegéből és azok szorzatából való képzésének általános tanát. Ő volt az első, aki felfedezte bármely egyenlet gyökeinek hatványai összegzésének szabályait.”

A diszkrimináns a gyökök szimmetrikus függvénye, amely a gyökök tulajdonságait tükrözi – nulla, ha és csak akkor, ha a polinomnak többszörös gyöke van, kvadratikus és köbös polinomok esetén pedig pozitív, ha és csak akkor, ha minden gyök valós és különböző, és negatív, ha és csak akkor, ha van egy pár különböző komplex konjugált gyök. A részletekért lásd a Diszkrimináns:A gyökök természete című fejezetet.

A köbös egyenletet először a 15-16. századi olasz matematikus, Scipione del Ferro oldotta meg részben, aki azonban nem publikálta eredményeit; ez a módszer azonban csak egyfajta köbös egyenletet oldott meg. Ezt a megoldást aztán 1535-ben Niccolò Fontana Tartaglia önállóan fedezte fel újra, és megosztotta Gerolamo Cardanóval, arra kérve őt, hogy ne tegye közzé. Cardano ezt aztán számos más esetre is kiterjesztette, hasonló érvekkel; további részleteket lásd a Cardano módszere címen. Del Ferro munkájának felfedezése után úgy érezte, hogy Tartaglia módszere már nem titkos, ezért 1545-ös Ars Magna című művében közzétette a saját megoldását. Tanítványa, Lodovico Ferrari megoldotta a kvartikus polinomot; az ő megoldása is bekerült az Ars Magnába. Ebben a könyvében azonban Cardano nem adott “általános képletet” a köbös egyenlet megoldására, mivel nem álltak rendelkezésére sem a komplex számok, sem az algebrai jelölés, amellyel egy általános köbös egyenletet le tudott volna írni. A modern jelölés és a komplex számok segítségével a könyvben szereplő képletek általános esetben is működnek, de Cardano ezt nem tudta. Rafael Bombelli volt az, akinek sikerült megértenie, hogyan kell a komplex számokkal dolgozni a kockaegyenlet minden formájának megoldásához.

Egy további lépés volt Joseph Louis Lagrange francia-olasz matematikus 1770-es Réflexions sur la résolution algébrique des équations című munkája, a Lagrange-felbontások módszere, amelyben elemezte Cardano és Ferrari kubikus és kvartikus egyenletek megoldását úgy, hogy a gyökök permutációi szempontjából vizsgálta őket, ami egy alacsonyabb fokú segédpolinomot eredményezett, ami egységes megértést adott a megoldásokról, és megalapozta a csoportelméletet és a Galois-elméletet. Lényeges azonban, hogy nem vette figyelembe a permutációk kompozícióját. Lagrange módszere nem terjedt ki a kvintikus vagy annál magasabb fokú egyenletekre, mivel a reszolvens magasabb fokú volt.

A kvintikusnak 1799-ben Paolo Ruffini majdnem bebizonyította, hogy nincs általános megoldása radikálisok segítségével, akinek kulcsfontosságú felismerése az volt, hogy nem egyetlen permutációt, hanem permutációs csoportokat használt. Az ő megoldása tartalmazott egy rést, amit Cauchy jelentéktelennek tartott, bár ezt csak Niels Henrik Abel norvég matematikus munkája foltozta be, aki 1824-ben publikálta a bizonyítást, és ezzel megalapozta az Abel-Ruffini-tételt.

Míg Ruffini és Abel megállapította, hogy az általános kvintikus nem megoldható, addig néhány speciális kvintikus megoldható, például az x5 – 1 = 0, és a pontos kritériumot, amellyel egy adott kvintikus vagy magasabb polinomról megállapítható, hogy megoldható-e vagy sem, Évariste Galois adta meg, aki megmutatta, hogy az, hogy egy polinom megoldható-e vagy sem, egyenértékű azzal, hogy a gyökeinek permutációs csoportja – mai szóval a Galois-csoportja – rendelkezik-e egy bizonyos struktúrával – mai szóval, hogy ez egy megoldható csoport-e vagy sem. Ez a csoport a négyes vagy annál kisebb fokú polinomok esetében mindig megoldható volt, de az ötös vagy annál nagyobb fokú polinomok esetében nem mindig, ami megmagyarázza, hogy miért nincs általános megoldás magasabb fokozatokban.

Galois írásaiSzerkesztés

Évariste Galois 15 év körüli portréja

1830-ban Galois (18 éves korában) benyújtotta a Párizsi Tudományos Akadémiának a gyökökkel való megoldhatóság elméletéről szóló emlékiratát; Galois dolgozatát végül 1831-ben elutasították, mivel túlságosan vázlatos volt, és mivel az egyenlet együtthatói helyett az egyenlet gyökeire vonatkozó feltételt adott meg. Galois ezután 1832-ben egy párbajban meghalt, és “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” című dolgozatát 1846-ig nem publikálták, amikor is Joseph Liouville néhány saját magyarázatával együtt kiadta. E publikációt megelőzően Liouville 1843. július 4-én tartott beszédében bejelentette Galois eredményét az Akadémiának. Allan Clark szerint Galois jellemzése “drámai módon felülmúlja Abel és Ruffini munkáját.”

UtószóSzerkesztés

Galois elméletét kortársai köztudottan nehezen értették meg, különösen olyan szinten, hogy ki tudták volna fejleszteni. Liouville például 1846-os kommentárjában teljesen kihagyta Galois módszerének csoportelméleti magját. Joseph Alfred Serret, aki részt vett Liouville néhány előadásán, a Cours d’algèbre supérieure című 1866-os (harmadik kiadású) tankönyvébe beépítette Galois elméletét. Serret tanítványának, Camille Jordannek még jobb megértése tükröződik 1870-ben megjelent Traité des substitutions et des équations algébriques című könyvében. Franciaországon kívül Galois elmélete hosszabb ideig homályosabb maradt. Nagy-Britanniában Cayley nem értette meg annak mélységét, és a népszerű brit algebrai tankönyvek nem is említették Galois elméletét egészen jóval a századforduló utánig. Németországban Kronecker írásai inkább Abel eredményére összpontosítottak. Dedekind keveset írt Galois elméletéről, de 1858-ban Göttingenben előadást tartott róla, ami igen jó megértésről tanúskodik. Eugen Netto 1880-as évekbeli könyvei, amelyek Jordan Traité-ján alapultak, a szélesebb német és amerikai közönség számára is hozzáférhetővé tették a Galois-elméletet, csakúgy, mint Heinrich Martin Weber 1895-ös algebra tankönyve.