Differenciálgeometria

Differenciálgeometria, a matematika azon ága, amely a görbék, felületek és sokaságok (a felületek magasabb dimenziós analógjai) geometriáját tanulmányozza. A tudományág a nevét a differenciálszámításból származó ötletek és technikák használatának köszönheti, bár a modern tárgy gyakran használ ehelyett algebrai és tisztán geometriai technikákat. Bár az alapvető definíciók, jelölések és analitikus leírások nagymértékben eltérnek, a következő geometriai kérdések uralkodnak: Hogyan mérjük egy görbe görbületét egy felületen belül (intrinsic), illetve az azt körülvevő térben (extrinsic)? Hogyan mérhető egy felület görbülete? Mi a legrövidebb út egy felületen belül a felület két pontja között? Hogyan kapcsolódik a legrövidebb út egy felületen az egyenes fogalmához?

Britannica kvíz

All About Math Quiz

Az algebra tanárának igaza volt. Az érettségi után is használni fogod a matekot – erre a kvízre! Nézd meg, mire emlékszel az iskolából, és talán megtanulsz közben néhány új tényt.

Míg a görbéket már az ókor óta tanulmányozták, a számtan felfedezése a 17. században megnyitotta a bonyolultabb síkbeli görbék tanulmányozását – mint amilyeneket René Descartes (1596-1650) francia matematikus készített “iránytűjével” (lásd A geometria története: Kartéziánus geometria). Különösen az integrálszámítás vezetett a síkbeli görbék ívhosszának és a síkbeli alakzatok területének meghatározására vonatkozó ősi problémák általános megoldásához. Ez viszont megnyitotta az utat a térbeli görbék és felületek vizsgálata előtt – ez a vizsgálat volt a differenciálgeometria kezdete.

A differenciálgeometria néhány alapvető gondolatát szemléltetheti a stráf, egy spirális csík, amelyet gyakran terveztek a mérnökök, hogy nagy fémhengerek, például kémények szerkezeti tartását biztosítsák. A strake úgy alakítható ki, hogy egy lapos acéllemezből kivágunk egy gyűrűs csíkot (két koncentrikus kör közötti területet), majd spirál alakban meghajlítjuk, amely spirálisan körbejárja a hengert, amint azt az ábra szemlélteti. Mekkora legyen a gyűrű r sugara a legjobb illeszkedés érdekében? A differenciálgeometria megoldást nyújt erre a problémára azáltal, hogy egy görbe görbületének pontos mértékét határozza meg; ezután az r értéket addig lehet beállítani, amíg a gyűrű alakú szalag belső élének görbülete meg nem egyezik a spirál görbületével.

Egy fontos kérdés marad: Meghajlítható-e a gyűrűs szalag, anélkül, hogy megnyúlna, úgy, hogy a henger körül stráfot képezzen? Ez különösen azt jelenti, hogy a felület mentén mért (belső) távolságok változatlanok maradnak. Két felületet izometrikusnak mondunk, ha az egyik a másikba hajlítható (vagy átalakítható) anélkül, hogy az intrinsic távolságok megváltoznának. (Például, mivel egy papírlapot csővé lehet tekerni anélkül, hogy megnyúlna, a lap és a cső “lokálisan” izometrikus – csak lokálisan, mert a papír két szélének összekötésével új, esetleg rövidebb útvonalak jönnek létre). Így a második kérdés a következő lesz: Izometrikus-e a gyűrűs csík és a strang? Ennek és hasonló kérdéseknek a megválaszolására a differenciálgeometria kidolgozta a felület görbületének fogalmát.