Baricentrikus koordináták

A Ceva-tétel tárgyalásának végén arra a következtetésre jutottunk, hogy a ΔABC belsejében lévő bármely K ponthoz létezik három olyan wA, wB és wC tömeg, amelyek, ha a háromszög megfelelő csúcsaira helyezzük őket, súlypontjuk (baricentrumuk) egybeesik a K ponttal. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definiálta (1827) a wA, wB és wC tömegeket mint K barycentrikus koordinátáit. (Lehetőség van az általánosításra, és a háromszögön kívüli pontok esetében negatív tömegeket is figyelembe venni. Erre az én céljaim szempontjából nincs szükség). A definíció szerint a barycentrikus koordináták nem egyediek. A kwA, kwB és kwC tömegek bármely k > 0 esetén pontosan azonos barycentrummal rendelkeznek. Így a barycentrikus koordináták az általános homogén koordináták egy formája, amelyet a matematika számos ágában (sőt, a számítógépes grafikában is) használnak. Egy további feltétellel

a barycentrikus koordináták a háromszög minden pontjára egyedileg definiáltak. (A (*)-nak megfelelő barycentrikus koordinátákat areális koordinátáknak nevezzük, mert feltételezve, hogy ΔABC területe 1, a w súlyok megegyeznek a KBC, KAC és KAB háromszögek területével.) Mivel bármely két pont súlypontja az összekötő szakaszon fekszik, a BC-n lévő pontok esetében wA = 0, az AC-n lévő pontok esetében wB = 0, az AB-n lévő pontok esetében pedig wC = 0. Az A,B,C csúcsok koordinátái (1,0,0,0), (0,1,0), illetve (0,0,1,1).

A három adott tömegű pont (nevezzük ezeket a pontokat anyagnak) súlypontjának meghatározásához szokásos módon először bármely két pont tömegének összegét helyezzük a súlypontjukra. Most ismételjük meg ugyanezt a műveletet (1 dimenziós) párosítva az új és a harmadik megmaradt pontot. (Az érvelés az affin geometrián belül formalizálható. Én inkább intuitívnak tartom a tárgyalást). Feltételezve (*), ha wA fixen marad, akkor a wB + wC összeg is az lesz. Ebből következik, hogy a B és C barycentrumának két lehetséges D és D’ pozíciója esetén DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Ezért a KK’ párhuzamos a BC-vel. Más szóval a wA = const egyenlet a BC-vel párhuzamos egyeneseket írja le. Mint már megjegyeztük, BC egyenlete wA = 0. Hasonló összefüggés áll fenn wB és AC, valamint wC és AB között.

Ha Mb és Mc az AC és AB középpontjai, akkor MbMc egyenlete wA = 1/2. Hasonlóképpen MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} és MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Nézzük meg a jobb oldali ábrát. A kék háromszögben mindhárom koordináta kisebb, mint 1/2. Ezért bináris ábrázolásuk első számjegye nulla. A piros háromszögben két koordináta 1/4-nél kisebb, míg a harmadik 1/2 és 3/4 között van. Ezért a piros háromszögekben mindhárom koordináta második bináris számjegye nulla. Ez elvezet a Sierpinski-tömítés megkonstruálására szolgáló trema-eltávolítási eljáráshoz, és támpontot ad a barycentrikus koordinátákban való leírásához.

A barycentrikus koordináták természetesen mindig akkor keletkeznek, amikor változó mennyiségek állandó összeggel rendelkeznek. Kiemelkedő példa erre a három pohár probléma, ahol vizet öntünk egyik pohárból a másikba azzal az irreális feltételezéssel, hogy eközben egyetlen csepp víz sem fog kiömleni. A probléma szépen szemlélteti a barycentrikus koordináták fogalmát.

Barycentrum és barycentrikus koordináták

1. 3D négyszög – egy koporsó probléma
2. Barycentrikus koordináták
3. Barycentrikus koordináták:
4. Barycentrikus koordináták és geometriai valószínűség
   • Három darabra tört bot (trilineáris koordináták)
   • Három darabra tört bot (kartéziánus koordináták)
5. Ceva-tétel
6. Determinánsok, terület, és barycentrikus koordináták
7. Maxwell-tétel a súlyponton keresztül
8. Bimediánok egy négyszögben
9. Ceva és Menelaosz tételeinek egyidejű általánosítása
   • Ceva és Menelaosz tételei, Egy illusztrált általánosítás
10. Három pohár rejtvény
11. Van Obel-tétel és barycentrikus koordináták
12. 1961 IMO, 4. feladat. Gyakorlat a barycentrikus koordinátákról
13. Centroidok sokszögben
14. Anyagi pontok súlypontja és mozgása
15. Izotomikus reciprocitás
16. Affine A barycentrum tulajdonsága
17. A közvetlen hasonlóság problémája
18. Körök barycentrikus koordinátákban
19. A cévi háromszög barycentruma
20. Egy kör egybeeső akkordjai, Egyenlően ferde

|Kapcsolat|||Front page||||Tartalom|||Geometria|