Homotopietheorie

Räume und KartenBearbeiten

In der Homotopietheorie und der algebraischen Topologie bezeichnet das Wort „Raum“ einen topologischen Raum. Um Pathologien zu vermeiden, arbeitet man selten mit beliebigen Räumen; stattdessen verlangt man von Räumen, dass sie zusätzliche Bedingungen erfüllen, wie z.B. kompakt generiert oder Hausdorff oder ein CW-Komplex zu sein.

In der gleichen Weise wie oben ist eine „Karte“ eine kontinuierliche Funktion, möglicherweise mit einigen zusätzlichen Bedingungen.

Oft arbeitet man mit einem spitzen Raum – d.h. einem Raum mit einem „ausgezeichneten Punkt“, genannt Basispunkt. Eine spitze Karte ist dann eine Karte, die Basispunkte bewahrt, d.h. sie schickt den Basispunkt der Domäne zu dem der Codomäne. Im Gegensatz dazu ist eine freie Karte eine Karte, die keine Basispunkte zu erhalten braucht.

HomotopieBearbeiten

Lassen Sie I das Einheitsintervall bezeichnen. Eine Familie von durch I indizierten Karten, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\zu Y}

nennt man eine Homotopie von h 0 {\displaystyle h_{0}}

zu h 1 {\displaystyle h_{1}}

wenn h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

ist eine Abbildung (z.B. muss es eine stetige Funktion sein). Wenn X, Y spitze Räume sind, ist die h t {\displaystyle h_{t}}

erforderlich, um die Basispunkte zu erhalten. Eine Homotopie kann als eine Äquivalenzrelation gezeigt werden. Gegeben ein spitzer Raum X und eine ganze Zahl n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, sei π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

seien die Homotopieklassen der basierten Karten S n → X {\displaystyle S^{n}\zu X}

von einer (spitzen) n-Sphäre S n {\displaystyle S^{n}}

nach X. Wie sich herausstellt, ist π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

Gruppen sind; insbesondere π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

nennt man die Fundamentalgruppe von X.

Wenn man es vorzieht, mit einem Raum statt mit einem spitzen Raum zu arbeiten, gibt es den Begriff des fundamentalen Groupoids (und höhere Varianten): per Definition ist das fundamentale Groupoid eines Raums X die Kategorie, in der die Objekte die Punkte von X und die Morphismen Pfade sind.

Kofibration und FibrationBearbeiten

Eine Karte f : A → X {\displaystyle f:A\zu X}

heißt eine Kofibration, wenn gegeben (1) eine Karte h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\nach Z}

und (2) eine Homotopie g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\zu Z}

, so existiert eine Homotopie h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

die h 0 {\displaystyle h_{0}}

und so, dass h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. In gewissem Sinne ist es ein Analogon zum Definitionsdiagramm eines injektiven Moduls in der abstrakten Algebra. Das einfachste Beispiel ist ein CW-Paar ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; da viele nur mit CW-Komplexen arbeiten, ist der Begriff der Kofibration oft implizit.

Eine Fibration im Sinne von Serre ist der duale Begriff einer Kofibration: das heißt, eine Abbildung p : X → B {\displaystyle p:X\zu B}

ist eine Fibration, wenn gegeben (1) eine Karte Z → X {\displaystyle Z\zu X}

und (2) eine Homotopie g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\zu B}

, gibt es eine Homotopie h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

, so dass h 0 {\displaystyle h_{0}}

die gegebene ist und p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Ein grundlegendes Beispiel ist eine Deckungskarte (eine Fibration ist eine Verallgemeinerung einer Deckungskarte). Wenn E {\displaystyle E}

ein Haupt-G-Bündel ist, d.h. ein Raum mit einer freien und transitiven (topologischen) Gruppenwirkung einer (topologischen) Gruppe, dann ist die Projektionskarte p : E → X {\displaystyle p:E\nach X}

ein Beispiel für eine Fibration.

Klassifizierende Räume und HomotopieoperationenBearbeiten

Gegeben eine topologische Gruppe G, ist der klassifizierende Raum für die Hauptbündel von G („die“ bis zur Äquivalenz) ein Raum B G {\displaystyle BG}

, so dass für jeden Raum X, = {\displaystyle =}

{ Haupt-G-Bündel auf X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\mapsto f^{*}EG}

wobei

• die linke Seite die Menge der Homotopieklassen von Karten X → B G {\displaystyle X\zu BG} ist
  

  ,

• ~ bezieht sich auf Isomorphismus von Bündeln, und
• = ist gegeben durch Zurückziehen des unterschiedenen Bündels E G {\displaystyle EG}
  

  auf B G {\displaystyle BG}

  

  (genannt Universalbündel) entlang einer Karte X → B G {\displaystyle X\to BG}

  

  .

Browns Darstellbarkeitssatz garantiert die Existenz von Klassifikationsräumen.

Spektrum und verallgemeinerte KohomologieBearbeiten

Die Idee, dass ein klassifizierender Raum Hauptbündel klassifiziert, kann noch weiter getrieben werden. Zum Beispiel könnte man versuchen, Kohomologieklassen zu klassifizieren: gegeben eine abelsche Gruppe A (wie Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

wobei K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

ist der Eilenberg-MacLane-Raum. Die obige Gleichung führt zum Begriff einer verallgemeinerten Kohomologietheorie, d.h. zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der Räume zur Kategorie der abelschen Gruppen, der die Axiome erfüllt, die die gewöhnliche Kohomologietheorie verallgemeinern. Wie sich herausstellt, kann ein solcher Funktor zwar nicht durch einen Raum dargestellt werden, aber er kann immer durch eine Folge von (spitzen) Räumen mit Strukturkarten, die als Spektrum bezeichnet werden, dargestellt werden. Mit anderen Worten: Eine verallgemeinerte Kohomologietheorie ist ein Spektrum.

Ein grundlegendes Beispiel für ein Spektrum ist ein Sphärenspektrum: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }