Homomorphismus
Einige Arten von Homomorphismen haben einen speziellen Namen, der auch für allgemeine Morphismen definiert ist.
IsomorphismusBearbeiten
Ein Isomorphismus zwischen algebraischen Strukturen desselben Typs ist allgemein als bijektiver Homomorphismus definiert.:134 :28
Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie ist ein Isomorphismus definiert als ein Morphismus, der eine Inverse hat, die auch ein Morphismus ist. Im speziellen Fall algebraischer Strukturen sind die beiden Definitionen äquivalent, obwohl sie sich für nicht-algebraische Strukturen, denen eine Menge zugrunde liegt, unterscheiden können.
Genauer gesagt, wenn
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
ein (Homo)Morphismus ist, hat er eine Inverse, wenn es einen Homomorphismus
g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
so dass
f ∘ g = Id B und g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{und}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Wenn A {\displaystyle A}
und B {\displaystyle B}
zugrunde liegende Mengen haben, und f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
hat eine Inverse g {\displaystyle g}
, dann hat f {\displaystyle f}
bijektiv ist. In der Tat ist f {\displaystyle f}
ist injektiv, da f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
impliziert x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}
, und f {\displaystyle f}
ist surjektiv, da für jedes x {\displaystyle x}
in B {\displaystyle B}
, hat man x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, und x {\displaystyle x}
ist das Bild eines Elements von A {\displaystyle A}
.
Umgekehrt, wenn f : A → B {\displaystyle f:A\zu B}
ein bijektiver Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen ist, sei g : B → A {\displaystyle g:B\nach A}
sei die Abbildung, so dass g ( y ) {\displaystyle g(y)}
das einzige Element x {\displaystyle x}
von A {\displaystyle A}
derart, dass f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. Man hat f ∘ g = Id B und g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ und }}g\circ f=\Operatorname {Id} _{A},}
und es bleibt nur zu zeigen, dass g ein Homomorphismus ist. Wenn ∗ {\displaystyle *}
eine binäre Operation der Struktur ist, kann für jedes Paar x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y}
von Elementen von B {\displaystyle B}
, hat man g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ∗ B f ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}
und g {\displaystyle g}
ist also kompatibel mit ∗ . {\displaystyle *.}
Da der Beweis für jede Arität ähnlich ist, zeigt dies, dass g {\displaystyle g}
ein Homomorphismus ist.
Dieser Beweis funktioniert nicht für nicht-algebraische Strukturen. Zum Beispiel ist ein Morphismus für topologische Räume eine kontinuierliche Abbildung, und die Inverse einer bijektiven kontinuierlichen Abbildung ist nicht notwendigerweise kontinuierlich. Ein Isomorphismus topologischer Räume, auch Homöomorphismus oder bikontinuierliche Karte genannt, ist also eine bijektive kontinuierliche Karte, deren Inverse ebenfalls kontinuierlich ist.
EndomorphismusBearbeiten
Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus, dessen Domäne gleich der Codomäne ist, oder, allgemeiner, ein Morphismus, dessen Quelle gleich dem Ziel ist.135
Die Endomorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden ein Monoid unter Komposition.
Die Endomorphismen eines Vektorraums oder eines Moduls bilden einen Ring. Im Falle eines Vektorraums oder eines freien Moduls endlicher Dimension induziert die Wahl einer Basis einen Ringisomorphismus zwischen dem Ring der Endomorphismen und dem Ring der quadratischen Matrizen derselben Dimension.
AutomorphismusBearbeiten
Ein Automorphismus ist ein Endomorphismus, der auch ein Isomorphismus ist.:135
Die Automorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden eine Gruppe unter Komposition, die Automorphismengruppe der Struktur genannt wird.
Viele Gruppen, die einen Namen erhalten haben, sind Automorphismengruppen einer algebraischen Struktur. Zum Beispiel ist die allgemeine lineare Gruppe GL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
ist die Automorphismengruppe eines Vektorraums der Dimension n {\displaystyle n}
über einem Feld k {\displaystyle k}
.
Die Automorphismengruppen von Feldern wurden von Évariste Galois zur Untersuchung der Wurzeln von Polynomen eingeführt und sind die Grundlage der Galoistheorie.
MonomorphismusBearbeiten
Für algebraische Strukturen werden Monomorphismen üblicherweise als injektive Homomorphismen definiert.:134 :29
Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus als ein Morphismus definiert, der links aufhebbar ist. Das bedeutet, dass ein (Homo)morphismus f : A → B {\displaystyle f:A\zu B}
ein Monomorphismus ist, wenn für jedes Paar g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
von Morphismen von jedem anderen Objekt C {\displaystyle C}
zu A {\displaystyle A}
, dann ist f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
impliziert g = h {\displaystyle g=h}
.
Diese beiden Definitionen des Monomorphismus sind für alle gängigen algebraischen Strukturen äquivalent. Genauer gesagt sind sie äquivalent für Felder, für die jeder Homomorphismus ein Monomorphismus ist, und für Varietäten der universellen Algebra, d.h. algebraische Strukturen, für die Operationen und Axiome (Identitäten) ohne jede Einschränkung definiert sind (Felder sind keine Varietät, da die multiplikative Inverse entweder als unäre Operation oder als Eigenschaft der Multiplikation definiert ist, die in beiden Fällen nur für Elemente ungleich Null definiert sind).
Insbesondere sind die beiden Definitionen eines Monomorphismus äquivalent für Mengen, Magmen, Halbgruppen, Monoide, Gruppen, Ringe, Felder, Vektorräume und Module.
Ein gespaltener Monomorphismus ist ein Homomorphismus, der eine linke Inverse hat und somit selbst eine rechte Inverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
ist ein Splitmonomorphismus, wenn es einen Homomorphismus g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
derart, dass g ∘ f = Id A . _{A}.}
Ein gespaltener Monomorphismus ist immer ein Monomorphismus, für beide Bedeutungen von Monomorphismus. Für Mengen und Vektorräume ist jeder Monomorphismus ein gespaltener Monomorphismus, aber diese Eigenschaft gilt nicht für die meisten üblichen algebraischen Strukturen.
Ein injektiver Homomorphismus ist links aufhebbar: Wenn f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
hat man f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
für jedes x {\displaystyle x}
in C {\displaystyle C}
, die gemeinsame Quelle von g {\displaystyle g}
und h {\displaystyle h}
. Wenn f {\displaystyle f}
injektiv ist, dann ist g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}
, und somit ist g = h {\displaystyle g=h}
. Dieser Beweis funktioniert nicht nur für algebraische Strukturen, sondern auch für jede Kategorie, deren Objekte Mengen und Pfeile Abbildungen zwischen diesen Mengen sind. Zum Beispiel ist eine injektive stetige Abbildung ein Monomorphismus in der Kategorie der topologischen Räume.
Um zu beweisen, dass umgekehrt ein linksaufhebbarer Homomorphismus injektiv ist, ist es nützlich, ein freies Objekt auf x {\displaystyle x}
zu betrachten. Bei einer Vielzahl algebraischer Strukturen ist ein freies Objekt auf x {\displaystyle x}
ein Paar, das aus einer algebraischen Struktur L {\displaystyle L}
dieser Sorte und einem Element x {\displaystyle x}
von L {\displaystyle L}
, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt: für jede Struktur S {\displaystyle S}
der Sorte, und jedes Element s {\displaystyle s}
von S {\displaystyle S}
, gibt es einen eindeutigen Homomorphismus f : L → S {\displaystyle f:L\zu S}
, so dass f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. Zum Beispiel ist für Mengen das freie Objekt auf x {\displaystyle x}
einfach { x } {\displaystyle \{x\}}
; für Halbgruppen ist das freie Objekt auf x {\displaystyle x}
{ x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
, das als Halbgruppe isomorph zur additiven Halbgruppe der positiven ganzen Zahlen ist; für Monoide ist das freie Objekt auf x {\displaystyle x}
{ 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
, das als Monoid isomorph zum additiven Monoid der nichtnegativen ganzen Zahlen ist; für Gruppen ist das freie Objekt auf x {\displaystyle x}
die unendliche zyklische Gruppe { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
, die als Gruppe isomorph zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen ist; für Ringe ist das freie Objekt auf x {\displaystyle x}
} der Polynomring Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
für Vektorräume oder Module, ist das freie Objekt auf x {\displaystyle x}
der Vektorraum oder das freie Modul, das x {\displaystyle x}
als Basis hat.
Wenn ein freies Objekt über x {\displaystyle x}
existiert, dann ist jeder linksaufhebbare Homomorphismus injektiv: sei f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
ein linksaufhebbarer Homomorphismus sein, und a {\displaystyle a}
und b {\displaystyle b}
zwei Elemente von A {\displaystyle A} sein
wie f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Durch die Definition des freien Objekts F {\displaystyle F}
, gibt es Homomorphismen g {\displaystyle g}
und h {\displaystyle h}
von F {\displaystyle F}
nach A {\displaystyle A}
derart, dass g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
und h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}
. Da f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, hat man f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
durch die Einzigartigkeit in der Definition einer universellen Eigenschaft. Da f {\displaystyle f}
links aufhebbar ist, hat man g = h {\displaystyle g=h}
, und somit ist a = b {\displaystyle a=b}
. Daher ist f {\displaystyle f}
ist injektiv.
Existenz eines freien Objekts auf x {\displaystyle x}
für eine Sorte (siehe auch Freies Objekt § Existenz): Zur Bildung eines freien Objekts über x {\displaystyle x}
, betrachte die Menge W {\displaystyle W}
der wohlgeformten Formeln, die aus x {\displaystyle x}
und den Operationen der Struktur gebildet werden. Zwei solche Formeln werden als äquivalent bezeichnet, wenn man durch Anwendung der Axiome (Identitäten der Struktur) von der einen zur anderen übergehen kann. Dies definiert eine Äquivalenzrelation, wenn die Identitäten nicht an Bedingungen geknüpft sind, d.h. wenn man mit einer Varietät arbeitet. Dann sind die Operationen der Varietät wohldefiniert auf der Menge der Äquivalenzklassen von W {\displaystyle W}
für diese Beziehung. Es ist einfach zu zeigen, dass das resultierende Objekt ein freies Objekt auf W {\displaystyle W}
.
EpimorphismusBearbeiten
In der Algebra werden Epimorphismen oft als surjektive Homomorphismen definiert.:134:43 In der Kategorientheorie hingegen werden Epimorphismen als rechtsaufhebbare Morphismen definiert. Das bedeutet, dass ein (Homo)morphismus f : A → B {\displaystyle f:A\zu B}
ein Epimorphismus ist, wenn für jedes Paar g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
von Morphismen von B {\displaystyle B}
zu einem beliebigen anderen Objekt C {\displaystyle C}
, die Gleichheit g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
impliziert g = h {\displaystyle g=h}
.
Ein surjektiver Homomorphismus ist immer rechts aufhebbar, aber die Umkehrung gilt nicht immer für algebraische Strukturen. Die beiden Definitionen von Epimorphismus sind jedoch äquivalent für Mengen, Vektorräume, abelsche Gruppen, Module (siehe unten für einen Beweis) und Gruppen. Die Bedeutung dieser Strukturen in der gesamten Mathematik und insbesondere in der linearen Algebra und der homologischen Algebra kann die Koexistenz von zwei nicht-äquivalenten Definitionen erklären.
Zu den algebraischen Strukturen, für die es nicht-surjektive Epimorphismen gibt, gehören Halbgruppen und Ringe. Das einfachste Beispiel ist der Einschluss der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, der ein Homomorphismus von Ringen und multiplikativen Halbgruppen ist. Für beide Strukturen ist er ein Monomorphismus und ein nicht-surjektiver Epimorphismus, aber kein Isomorphismus.
Eine weite Verallgemeinerung dieses Beispiels ist die Lokalisierung eines Rings durch eine multiplikative Menge. Jede Lokalisierung ist ein Ringepimorphismus, der im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Da Lokalisierungen in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung sind, mag dies erklären, warum in diesen Bereichen die Definition von Epimorphismen als rechtsaufhebbare Homomorphismen im Allgemeinen bevorzugt wird.
Ein gespaltener Epimorphismus ist ein Homomorphismus, der eine rechte Inverse hat und somit selbst eine linke Inverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
ist ein Split-Epimorphismus, wenn es einen Homomorphismus g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
derart, dass f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}
Ein gespaltener Epimorphismus ist immer ein Epimorphismus, für beide Bedeutungen von Epimorphismus. Für Mengen und Vektorräume ist jeder Epimorphismus ein gespaltener Epimorphismus, aber diese Eigenschaft gilt nicht für die meisten üblichen algebraischen Strukturen.
Zusammengefasst hat man
gespaltener Epimorphismus ⟹ Epimorphismus (surjektiv) ⟹ Epimorphismus (rechts aufhebbar) ; {\displaystyle {\text{gespaltener Epimorphismus}}\implies {\text{Epimorphismus (surjektiv)}}\implies {\text{Epimorphismus (rechts aufhebbar)};}
die letzte Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen, Vektorräume, Module und abelsche Gruppen; die erste Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen und Vektorräume.
Lasse f : A → B {\displaystyle f\colon A\zu B}
sei ein Homomorphismus. Wir wollen beweisen, dass er, wenn er nicht surjektiv ist, nicht rechts aufhebbar ist.
Im Falle von Mengen sei b {\displaystyle b}
ein Element von B {\displaystyle B}
, das nicht zu f ( A ) {\displaystyle f(A)} gehört
, und definieren Sie g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}
, so dass g {\displaystyle g}
die Identitätsfunktion ist, und dass h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
für jedes x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
außer dass h ( b ) {\displaystyle h(b)}
ein beliebiges anderes Element von B ist {\displaystyle B}
. Offensichtlich ist f {\displaystyle f}
nicht nach rechts aufhebbar ist, da g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
und g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}
Im Fall von Vektorräumen, abelschen Gruppen und Modulen stützt sich der Beweis auf die Existenz von Kokerneln und auf die Tatsache, dass die Nullkarten Homomorphismen sind: sei C {\displaystyle C}
sei das Kokernel von f {\displaystyle f}
, und g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}
sei die kanonische Karte, so dass g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}
. Sei h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}
sei die Nullkarte. Wenn f {\displaystyle f}
nicht surjektiv ist, so ist C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}
, und somit g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
(das eine ist eine Nullkarte, das andere nicht). Somit ist f {\displaystyle f}
nicht aufhebbar, da g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
(beide sind die Nullabbildung von A {\displaystyle A}
nach C {\displaystyle C}
).
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