Homöomorphismus

Topologischer Raum

Eines der grundlegendsten Strukturkonzepte in der Topologie besteht darin, eine Menge X in einen topologischen Raum zu verwandeln, indem man eine Sammlung von Teilmengen T von X angibt. Eine solche Sammlung muss drei Axiome erfüllen: (1) die Menge X selbst und die leere Menge sind Mitglieder von T, (2) die Schnittmenge einer beliebigen endlichen Anzahl von Mengen in T ist in T, und (3) die Vereinigung einer beliebigen Sammlung von Mengen in T ist in T. Die Mengen in T werden als offene Mengen bezeichnet, und T wird als eine Topologie auf X bezeichnet. Zum Beispiel wird die reelle Zahlenreihe zu einem topologischen Raum, wenn ihre Topologie als Sammlung aller möglichen Vereinigungen offener Intervalle spezifiziert wird – wie (-5, 2), (1/2, π), (0, Quadratwurzel aus√2), …. (Ein analoger Prozess erzeugt eine Topologie auf einem metrischen Raum.) Andere Beispiele für Topologien auf Mengen ergeben sich rein aus der Mengenlehre. So wird beispielsweise die Sammlung aller Teilmengen einer Menge X als diskrete Topologie auf X bezeichnet, und die Sammlung, die nur aus der leeren Menge und X selbst besteht, bildet die indiskrete oder triviale Topologie auf X. Ein gegebener topologischer Raum führt zu anderen verwandten topologischen Räumen. So erbt beispielsweise eine Teilmenge A eines topologischen Raums X eine Topologie, die so genannte relative Topologie, von X, wenn die offenen Mengen von A als Schnittmengen von A mit offenen Mengen von X betrachtet werden. Die enorme Vielfalt topologischer Räume bietet eine reiche Quelle von Beispielen, um allgemeine Theoreme zu motivieren, sowie Gegenbeispiele, um falsche Vermutungen zu demonstrieren. Darüber hinaus erlaubt es die Allgemeinheit der Axiome für einen topologischen Raum den Mathematikern, viele Arten von mathematischen Strukturen, wie z. B. Funktionssammlungen in der Analysis, als topologische Räume zu betrachten und damit verbundene Phänomene auf neue Weise zu erklären.

Ein topologischer Raum kann auch durch einen alternativen Satz von Axiomen definiert werden, die geschlossene Mengen einbeziehen, die Komplemente von offenen Mengen sind. In frühen Überlegungen zu topologischen Ideen, insbesondere für Objekte im n-dimensionalen euklidischen Raum, waren geschlossene Mengen auf natürliche Weise bei der Untersuchung der Konvergenz von unendlichen Reihen entstanden (siehe unendliche Reihen). Oft ist es zweckmäßig oder nützlich, zusätzliche Axiome für eine Topologie anzunehmen, um Ergebnisse zu erzielen, die für eine bestimmte Klasse von topologischen Räumen gelten, aber nicht für alle topologischen Räume. Ein solches Axiom besagt, dass zwei unterschiedliche Punkte zu disjunkten offenen Mengen gehören müssen. Ein topologischer Raum, der dieses Axiom erfüllt, wird heute als Hausdorff-Raum bezeichnet.