Hilbert-Raum

Hilbert-Raum, in der Mathematik, ein Beispiel für einen unendlich-dimensionalen Raum, der einen großen Einfluss auf die Analysis und Topologie hatte. Der deutsche Mathematiker David Hilbert beschrieb diesen Raum erstmals in seinen Arbeiten über Integralgleichungen und Fourier-Reihen, mit denen er sich in den Jahren 1902-12 beschäftigte.

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Topologie: Geschichte der Topologie

…die topologischen Eigenschaften des unendlich-dimensionalen Hilbert-Raums. Diese Bemühungen haben ein neues Gebiet der Topologie vorweggenommen…

Die Punkte des Hilbert-Raums sind unendliche Folgen (x1, x2, x3, …) von reellen Zahlen, die quadratisch summierbar sind, d.h. für die die unendliche Reihe x12 + x22 + x32 + … zu einer endlichen Zahl konvergiert. In direkter Analogie zum n-dimensionalen euklidischen Raum ist der Hilbert-Raum ein Vektorraum mit einem natürlichen inneren Produkt oder Punktprodukt, das eine Abstandsfunktion liefert. Unter dieser Abstandsfunktion wird er zu einem vollständigen metrischen Raum und ist damit ein Beispiel für das, was Mathematiker einen vollständigen Innenproduktraum nennen.

Nach Hilberts Untersuchung bewiesen der österreichisch-deutsche Mathematiker Ernst Fischer und der ungarische Mathematiker Frigyes Riesz, dass quadratisch integrierbare Funktionen (Funktionen, bei denen die Integration des Quadrats ihres Absolutwerts endlich ist) auch als „Punkte“ in einem vollständigen Innenproduktraum betrachtet werden können, der dem Hilbert-Raum entspricht. In diesem Zusammenhang spielte der Hilbert-Raum eine Rolle bei der Entwicklung der Quantenmechanik, und er ist weiterhin ein wichtiges mathematisches Werkzeug in der angewandten Mathematik und der mathematischen Physik.

In der Analysis führte die Entdeckung des Hilbert-Raums zur Funktionalanalysis, einem neuen Gebiet, in dem Mathematiker die Eigenschaften ganz allgemeiner linearer Räume untersuchen. Zu diesen Räumen gehören die vollständigen inneren Produkträume, die jetzt Hilbert-Räume genannt werden, eine Bezeichnung, die erstmals 1929 von dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker John von Neumann verwendet wurde, um diese Räume auf abstrakte axiomatische Weise zu beschreiben. Der Hilbert-Raum hat auch eine Fülle von Ideen für die Topologie geliefert. Als metrischer Raum kann der Hilbert-Raum als unendlich-dimensionaler linearer topologischer Raum betrachtet werden, und wichtige Fragen zu seinen topologischen Eigenschaften wurden in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wichtige Fragen zu seinen topologischen Eigenschaften aufgeworfen. Motiviert durch diese Eigenschaften der Hilbert-Räume gründeten Forscher in den 1960er und 70er Jahren ein neues Teilgebiet der Topologie, die unendlich-dimensionale Topologie.