Gyroid

Das Gyroid ist das einzige nicht-triviale eingebettete Mitglied der Assoziationsfamilie der P- und D-Flächen von Schwarz. Sein Assoziationswinkel mit der D-Fläche beträgt etwa 38,01°. Das Gyroid ist dem Lidinoid ähnlich. Das Gyroid wurde 1970 von dem NASA-Wissenschaftler Alan Schoen entdeckt. Er berechnete den Assoziationswinkel und lieferte eine überzeugende Demonstration von Bildern komplizierter Kunststoffmodelle, konnte aber keinen Beweis für die Einbettung erbringen. Schoen stellte fest, dass der Kreisel weder gerade Linien noch planare Symmetrien enthält. Karcher gab 1989 eine andere, zeitgemäßere Behandlung der Oberfläche unter Verwendung der konjugierten Oberflächenkonstruktion. 1996 bewiesen Große-Brauckmann und Wohlgemuth, dass sie eingebettet ist, und 1997 lieferte Große-Brauckmann CMC-Varianten des Gyroids und führte weitere numerische Untersuchungen zu den Volumenanteilen der Minimal- und CMC-Gyroide (konstante mittlere Krümmung) durch.

Das Gyroid teilt den Raum in zwei entgegengesetzte kongruente Labyrinthe von Durchgängen. Der Kreisel hat die Raumgruppe I4132 (Nr. 214). Die Kanäle verlaufen durch die gyroiden Labyrinthe in den Richtungen (100) und (111); die Durchgänge tauchen in einem Winkel von 70,5 Grad zu jedem Kanal auf, wenn dieser durchquert wird, wobei die Richtung, in der sie dies tun, den Kanal hinunter kreiselt, was zu dem Namen „Gyroid“ führt. Eine Möglichkeit, sich die Oberfläche vorzustellen, sind die „quadratischen Katenoide“ der P-Oberfläche (gebildet aus zwei Quadraten in parallelen Ebenen mit einer fast kreisförmigen Taille); die Rotation um die Kanten des Quadrats erzeugt die P-Oberfläche. In der assoziierten Familie „öffnen“ sich diese quadratischen Kettenräder (ähnlich wie sich das Kettenoid zu einem Helikoid „öffnet“), um kreisende Bänder zu bilden, die schließlich zur Schwarz-D-Fläche werden. Für einen Wert des assoziierten Familienparameters liegen die kreisenden Bänder genau an den Stellen, die für eine eingebettete Oberfläche erforderlich sind.

Das Gyroid ist die einzige bekannte eingebettete dreifach periodische Minimalfläche, die Dreifachverbindungen und keine Reflexionssymmetrielinien besitzt, im Gegensatz zu den fünf Minimalflächen, die von Anderson et al. 1990 untersucht wurden.

Das Gyroid bezieht sich auf das Mitglied, das in der assoziierten Familie der Schwarz-P-Fläche ist, aber tatsächlich existiert das Gyroid in mehreren Familien, die verschiedene Symmetrien der Fläche bewahren; eine vollständigere Diskussion der Familien dieser minimalen Flächen erscheint in dreifach periodische minimale Flächen.

Interessanterweise kann die Kreiselfläche, wie einige andere dreifach periodische Minimalflächen, trigonometrisch durch eine kurze Gleichung angenähert werden:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}