Geometrische Wahrscheinlichkeit

Probleme der folgenden Art und ihre Lösungsverfahren wurden erstmals im 18. Jahrhundert untersucht, und das allgemeine Thema wurde als geometrische Wahrscheinlichkeit bekannt.

• (Buffonsche Nadel) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nadel, die zufällig auf einen mit gleichmäßig verteilten parallelen Linien markierten Boden fällt, eine der Linien kreuzt?
• Wie groß ist die mittlere Länge einer zufälligen Sehne eines Einheitskreises? (
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei zufällige Punkte in der Ebene ein spitzwinkliges (und nicht ein stumpfwinkliges) Dreieck bilden?
• Wie groß ist die mittlere Fläche der polygonalen Regionen, die entstehen, wenn zufällig orientierte Linien über die Ebene verteilt werden?

Zur mathematischen Entwicklung siehe die knappe Monographie von Solomon.

Seit dem späten 20. Jahrhundert hat sich das Thema in zwei Themen mit unterschiedlichen Schwerpunkten aufgespalten. Die Integralgeometrie ist aus dem Prinzip entstanden, dass die mathematisch natürlichen Wahrscheinlichkeitsmodelle diejenigen sind, die unter bestimmten Transformationsgruppen invariant sind. Der Schwerpunkt liegt auf der systematischen Entwicklung von Formeln für die Berechnung von Erwartungswerten, die mit den aus Zufallspunkten abgeleiteten geometrischen Objekten verbunden sind, und kann teilweise als ein anspruchsvoller Zweig der multivariaten Kalkulation betrachtet werden. Die stochastische Geometrie legt den Schwerpunkt auf die zufälligen geometrischen Objekte selbst. Zum Beispiel: verschiedene Modelle für zufällige Linien oder für zufällige Mosaike der Ebene; zufällige Mengen, die dadurch gebildet werden, dass man Punkte eines räumlichen Poisson-Prozesses (z. B.) zu Zentren von Scheiben macht.