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Gaußsche Fläche

Siehe auch: Ladungsdichte
Beispiele für gültige (links) und ungültige (rechts) Gaußsche Flächen. Links: Einige gültige Gaußsche Flächen sind die Oberfläche einer Kugel, die Oberfläche eines Torus und die Oberfläche eines Würfels. Es handelt sich um geschlossene Flächen, die ein 3D-Volumen vollständig umschließen. Rechts: Einige Flächen, die NICHT als Gaußsche Flächen verwendet werden können, wie z. B. die Oberfläche einer Scheibe, eines Quadrats oder einer Halbkugel. Sie schließen ein 3D-Volumen nicht vollständig ein und haben Grenzen (rot). Beachten Sie, dass unendliche Flächen Gaußsche Flächen annähern können.

Die meisten Berechnungen mit Gaußschen Flächen beginnen mit der Umsetzung des Gaußschen Gesetzes (für Elektrizität):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

{\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

{\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

Dabei ist Qenc die von der Gaußschen Fläche eingeschlossene elektrische Ladung.

Das ist das Gaußsche Gesetz, das sowohl den Divergenzsatz als auch das Coulombsche Gesetz kombiniert.

Kugelförmige FlächeBearbeiten

Eine kugelförmige Gaußfläche wird verwendet, wenn man das elektrische Feld oder den Fluss, der durch einen der folgenden Punkte erzeugt wird, bestimmt:

  • einer Punktladung
  • einer gleichmäßig verteilten kugelförmigen Ladungsschale
  • einer anderen kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

Die kugelförmige Gaußfläche wird so gewählt, dass sie konzentrisch zur Ladungsverteilung ist.

Betrachten wir als Beispiel eine geladene Kugelschale S von vernachlässigbarer Dicke mit einer gleichmäßig verteilten Ladung Q und dem Radius R. Wir können das Gaußsche Gesetz verwenden, um die Größe des resultierenden elektrischen Feldes E in einem Abstand r vom Zentrum der geladenen Schale zu finden. Es ist sofort ersichtlich, dass für eine kugelförmige Gauß-Oberfläche mit dem Radius r < R die eingeschlossene Ladung gleich Null ist: Daher ist der Nettofluss gleich Null und die Größe des elektrischen Feldes auf der Gauß-Oberfläche ist ebenfalls gleich 0 (indem man QA = 0 im Gauß’schen Gesetz lässt, wobei QA die von der Gauß-Oberfläche eingeschlossene Ladung ist).

Bei demselben Beispiel, bei dem eine größere Gauß-Oberfläche außerhalb der Schale verwendet wird, bei der r > R ist, ergibt das Gauß’sche Gesetz ein elektrisches Feld ungleich Null. Dieses wird wie folgt bestimmt:

Der Fluss aus der Kugeloberfläche S ist:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}

\scriptstyle \partial S\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}

\mathbf{E}\cdot d \mathbf{A} = \int\!\!\!\!\int_c E dA\cos 0^\circ = E \int\!\!\!\int_S dA \,\!

Die Oberfläche der Kugel mit dem Radius r ist

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}

\int \!\!\!\int_S dA = 4 \pi r^2

das impliziert

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

\Phi _{E} = E 4\pi r^{2}

Nach dem Gaußschen Gesetz ist der Fluss auch

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi _{E} =\frac {Q_A}{\varepsilon_0}

Schließlich ergibt die Gleichsetzung des Ausdrucks für ΦE die Größe des E-Feldes an der Position r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}.}

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}

Dieses nicht-triviale Ergebnis zeigt, dass sich jede kugelförmige Ladungsverteilung wie eine Punktladung verhält, wenn sie von außerhalb der Ladungsverteilung betrachtet wird; dies ist in der Tat eine Überprüfung des Coulombschen Gesetzes. Und, wie gesagt, alle äußeren Ladungen zählen nicht.

Zylindrische FlächeBearbeiten

Eine zylindrische Gaußfläche wird verwendet, wenn das elektrische Feld oder der Fluss, der durch einen der folgenden Punkte erzeugt wird, bestimmt wird:

  • eine unendlich lange Linie mit gleichmäßiger Ladung
  • eine unendlich lange Ebene mit gleichmäßiger Ladung
  • ein unendlich langer Zylinder mit gleichmäßiger Ladung

Ein Beispiel für ein „Feld in der Nähe einer unendlichen Linienladung“ ist unten angegeben;

Betrachten Sie einen Punkt P in einem Abstand r von einer unendlichen Linienladung mit der Ladungsdichte (Ladung pro Längeneinheit) λ. Man stelle sich eine geschlossene Fläche in Form eines Zylinders vor, dessen Drehachse die Linienladung ist. Wenn h die Länge des Zylinders ist, dann ist die im Zylinder eingeschlossene Ladung

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

q = \lambda h

,

wobei q die in der Gaußschen Fläche eingeschlossene Ladung ist. Es gibt drei Flächen a, b und c, wie in der Abbildung dargestellt. Die differentielle Vektorfläche ist dA, auf jeder Fläche a, b und c.

Geschlossene Fläche in Form eines Zylinders mit Linienladung im Zentrum und den differentiellen Flächen dA aller drei Flächen.

Der durchgehende Fluss besteht aus den drei Beiträgen:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

A {\displaystyle \scriptstyle A\,\!}

\scriptstyle A\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int\!\!\!\!\int_a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\int_b\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\int_c\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}

Für die Flächen a und b stehen E und dA senkrecht, für die Fläche c sind E und dA parallel, wie in der Abbildung dargestellt.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\&=E\int \!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}

\begin{align} \Phi_E = \int\!\!\!\int_a E dA\cos 90^\circ + \int\!\!\!\int_b E d A \cos 90^\circ + \int\!\!\!\int_c E d A\cos 0^\circ \\\ = E \int\!\!\!\int_c dA\\\end{align}

Die Oberfläche des Zylinders ist

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

\int \!\!\!\int _{c}dA = 2 \pi r h

woraus folgt

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

\Phi _{E} = E 2 \pi r h

Nach dem Gaußschen Gesetz

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi _{E} = \frac {q}{\varepsilon_0}

Die Gleichung für ΦE ergibt

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}

E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad \Rechtspfeil \quad E = \frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r}

Gaußsche PillboxEdit

Diese Fläche wird am häufigsten verwendet, um das elektrische Feld zu bestimmen, das auf eine unendliche Ladungsplatte mit gleichmäßiger Ladungsdichte oder eine Ladungsplatte mit endlicher Dicke wirkt. Die Pillendose hat eine zylindrische Form und kann als aus drei Komponenten bestehend betrachtet werden: die Scheibe an einem Ende des Zylinders mit der Fläche πR², die Scheibe am anderen Ende mit der gleichen Fläche und die Seite des Zylinders. Die Summe des elektrischen Flusses durch jede Komponente der Oberfläche ist proportional zur eingeschlossenen Ladung der Pillendose, wie es das Gaußsche Gesetz besagt. Da das Feld in der Nähe der Platte als konstant angenommen werden kann, wird die Pillendose so ausgerichtet, dass die Feldlinien die Scheiben an den Enden des Feldes in einem senkrechten Winkel durchdringen und die Seiten des Zylinders parallel zu den Feldlinien verlaufen.

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