Galoistheorie

VorgeschichteBearbeiten

Galois‘ Theorie hat ihren Ursprung in der Untersuchung von symmetrischen Funktionen – die Koeffizienten eines monischen Polynoms sind (bis auf das Vorzeichen) die elementaren symmetrischen Polynome in den Wurzeln. Zum Beispiel: (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, wobei 1, a + b und ab die elementaren Polynome vom Grad 0, 1 und 2 in zwei Variablen sind.

Dies wurde erstmals von dem französischen Mathematiker François Viète im 16. Nach Ansicht des britischen Mathematikers Charles Hutton aus dem 18. Jahrhundert wurde der Ausdruck der Koeffizienten eines Polynoms in Form von Wurzeln (nicht nur für positive Wurzeln) zuerst von dem französischen Mathematiker Albert Girard aus dem 17. Jahrhundert verstanden; Hutton schreibt:

… die erste Person, die die allgemeine Doktrin der Bildung der Koeffizienten der Potenzen aus der Summe der Wurzeln und ihrer Produkte verstand. Er war der erste, der die Regeln für die Summierung der Potenzen der Wurzeln einer beliebigen Gleichung entdeckte.

In diesem Sinne ist die Diskriminante eine symmetrische Funktion in den Wurzeln, die die Eigenschaften der Wurzeln widerspiegelt – sie ist Null, wenn und nur wenn das Polynom eine mehrfache Wurzel hat, und für quadratische und kubische Polynome ist sie positiv, wenn und nur wenn alle Wurzeln reell und verschieden sind, und negativ, wenn und nur wenn es ein Paar verschiedener komplex konjugierter Wurzeln gibt. Siehe Diskriminante:Natur der Wurzeln für weitere Einzelheiten.

Das kubische Polynom wurde erstmals vom italienischen Mathematiker Scipione del Ferro im 15. und 16. Jahrhundert teilweise gelöst, der seine Ergebnisse jedoch nicht veröffentlichte; diese Methode löste jedoch nur eine Art von kubischer Gleichung. Diese Lösung wurde dann 1535 von Niccolò Fontana Tartaglia unabhängig wiederentdeckt, der sie Gerolamo Cardano mitteilte und ihn bat, sie nicht zu veröffentlichen. Cardano dehnte diese Lösung dann mit ähnlichen Argumenten auf zahlreiche andere Fälle aus; weitere Einzelheiten finden Sie unter Cardanos Methode. Nach der Entdeckung von del Ferros Arbeit war er der Meinung, dass Tartaglias Methode nicht mehr geheim war, und so veröffentlichte er seine Lösung 1545 in seiner Ars Magna. Sein Schüler Lodovico Ferrari löste das quartische Polynom; seine Lösung wurde ebenfalls in die Ars Magna aufgenommen. In diesem Buch gab Cardano jedoch keine „allgemeine Formel“ für die Lösung einer kubischen Gleichung an, da er weder über komplexe Zahlen noch über die algebraische Notation verfügte, um eine allgemeine kubische Gleichung beschreiben zu können. Mit der modernen Notation und den komplexen Zahlen funktionieren die Formeln in diesem Buch auch im allgemeinen Fall, aber Cardano wusste das nicht. Es war Rafael Bombelli, dem es gelang zu verstehen, wie man mit komplexen Zahlen arbeitet, um alle Formen der kubischen Gleichung zu lösen.

Ein weiterer Schritt war die Arbeit Réflexions sur la résolution algébrique des équations des französisch-italienischen Mathematikers Joseph Louis Lagrange aus dem Jahr 1770, in der er die Lösung der kubischen und quartischen Gleichungen von Cardano und Ferrari analysierte, indem er sie als Permutationen der Wurzeln betrachtete, die ein Hilfspolynom niedrigeren Grades ergaben, was ein einheitliches Verständnis der Lösungen ermöglichte und den Grundstein für die Gruppentheorie und die Galois-Theorie legte. Entscheidend ist jedoch, dass er die Komposition von Permutationen nicht berücksichtigt hat. Lagranges Methode ließ sich nicht auf quintische Gleichungen oder höhere Gleichungen ausdehnen, da das Resolvent einen höheren Grad hatte.

Die Quinte wurde 1799 von Paolo Ruffini, dessen Schlüsselerkenntnis darin bestand, Permutationsgruppen und nicht nur eine einzelne Permutation zu verwenden, fast so bewiesen, dass es keine allgemeinen Lösungen durch Radikale gibt. Seine Lösung enthielt eine Lücke, die Cauchy für unbedeutend hielt, die aber erst durch die Arbeit des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel behoben wurde, der 1824 einen Beweis veröffentlichte und damit das Abel-Ruffini-Theorem aufstellte.

Während Ruffini und Abel feststellten, dass die allgemeine Quinte nicht lösbar ist, können einige spezielle Quinten gelöst werden, wie z.B. x5 – 1 = 0, und das genaue Kriterium, nach dem eine gegebene Quinte oder ein höheres Polynom als lösbar oder nicht lösbar bestimmt werden kann, wurde von Évariste Galois gegeben, der zeigte, dass die Lösbarkeit eines Polynoms davon abhängt, ob die Permutationsgruppe seiner Wurzeln – modern ausgedrückt, seine Galois-Gruppe – eine bestimmte Struktur aufweist – modern ausgedrückt, ob sie eine lösbare Gruppe ist oder nicht. Diese Gruppe war für Polynome bis zum vierten Grad immer lösbar, für Polynome ab dem fünften Grad jedoch nicht immer, weshalb es für höhere Grade keine allgemeine Lösung gibt.

Galois‘ SchriftenBearbeiten

Ein Porträt von Évariste Galois im Alter von etwa 15 Jahren

Im Jahr 1830 reichte Galois (im Alter von 18 Jahren) bei der Pariser Akademie der Wissenschaften eine Denkschrift über seine Theorie der Lösbarkeit durch Radikale ein; Galois‘ Arbeit wurde schließlich 1831 abgelehnt, weil sie zu skizzenhaft war und weil er eine Bedingung in Form von Wurzeln der Gleichung statt ihrer Koeffizienten angab. Galois starb dann 1832 bei einem Duell, und seine Arbeit, „Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux“, blieb bis 1846 unveröffentlicht, als sie von Joseph Liouville zusammen mit einigen seiner eigenen Erläuterungen veröffentlicht wurde. Vor dieser Veröffentlichung kündigte Liouville das Ergebnis von Galois in einer Rede vor der Akademie am 4. Juli 1843 an. Allan Clark zufolge übertrifft Galois‘ Charakterisierung „die Arbeit von Abel und Ruffini auf dramatische Weise“

NachwirkungBearbeiten

Galois‘ Theorie war für seine Zeitgenossen bekanntermaßen schwer zu verstehen, vor allem so weit, dass sie sie erweitern konnten. Liouville zum Beispiel vermisste in seinem Kommentar von 1846 den gruppentheoretischen Kern von Galois‘ Methode völlig. Joseph Alfred Serret, der einige von Liouvilles Vorträgen besuchte, nahm Galois‘ Theorie in sein Lehrbuch Cours d’algèbre supérieure von 1866 (dritte Auflage) auf. Serrets Schüler, Camille Jordan, hatte ein noch besseres Verständnis, das sich in seinem 1870 erschienenen Buch Traité des substitutions et des équations algébriques niederschlug. Außerhalb Frankreichs blieb die Theorie von Galois länger im Dunkeln. In Großbritannien verstand Cayley ihre Tiefe nicht, und in den gängigen britischen Algebra-Lehrbüchern wurde Galois‘ Theorie bis weit nach der Jahrhundertwende nicht einmal erwähnt. In Deutschland konzentrierten sich Kroneckers Schriften mehr auf das Abelsche Ergebnis. Dedekind schrieb wenig über die Galois-Theorie, hielt aber 1858 in Göttingen eine Vorlesung über sie und zeigte dabei ein sehr gutes Verständnis. Die Bücher von Eugen Netto aus den 1880er Jahren, die auf Jordans Traité basieren, machten die Galois-Theorie einem breiteren deutschen und amerikanischen Publikum zugänglich, ebenso wie Heinrich Martin Webers Algebra-Lehrbuch von 1895.