Théorie de l’homotopie

Espaces et cartesEdit

En théorie de l’homotopie et en topologie algébrique, le mot « espace » désigne un espace topologique. Afin d’éviter les pathologies, on travaille rarement avec des espaces arbitraires ; au lieu de cela, on exige que les espaces répondent à des contraintes supplémentaires, comme être généré de manière compacte, ou Hausdorff, ou un complexe CW.

Dans la même veine que ci-dessus, une « carte » est une fonction continue, éventuellement avec quelques contraintes supplémentaires.

Souvent, on travaille avec un espace pointu — c’est-à-dire un espace avec un « point distingué », appelé point de base. Une carte pointée est alors une carte qui préserve les points de base ; c’est-à-dire qu’elle envoie le point de base du domaine à celui du codomaine. En revanche, une carte libre est une carte qui n’a pas besoin de préserver les points de base.

HomotopieEdit

Laissons I désigner l’intervalle unitaire. Une famille de cartes indexées par I, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\to Y}.

est appelée une homotopie de h 0 {\displaystyle h_{0}}

à h 1 {\displaystyle h_{1}}

si h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

est une carte (par exemple, ce doit être une fonction continue). Lorsque X, Y sont des espaces pointés, la h t {\displaystyle h_{t}}

sont requises pour préserver les points de base. On peut montrer qu’une homotopie est une relation d’équivalence. Étant donné un espace pointé X et un entier n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, let π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

sont les classes d’homotopie des cartes basées S n → X {\displaystyle S^{n}\to X}

à partir d’une sphère n (pointue) S n {\displaystyle S^{n}

à X. Il s’avère que π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

sont des groupes ; en particulier, π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

est appelé le groupe fondamental de X.

Si l’on préfère travailler avec un espace au lieu d’un espace pointé, il existe la notion de groupoïde fondamental (et des variantes supérieures) : par définition, le groupoïde fondamental d’un espace X est la catégorie où les objets sont les points de X et les morphismes sont des chemins.

Cofibration et fibrationEdit

Une carte f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

est appelée une cofibration si étant donnée (1) une carte h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

et (2) une homotopie g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\to Z}

, il existe une homotopie h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

qui prolonge h 0 {\displaystyle h_{0}}

et tel que h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. Dans un certain sens, il s’agit d’un analogue du diagramme de définition d’un module injectif en algèbre abstraite. L’exemple le plus fondamental est une paire CW ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; comme beaucoup ne travaillent qu’avec des complexes CW, la notion de cofibration est souvent implicite.

Une fibration au sens de Serre est la notion duale d’une cofibration : c’est-à-dire une carte p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

est une fibration si étant donné (1) une carte Z → X {\displaystyle Z\to X}

et (2) une homotopie g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, il existe une homotopie h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

telle que h 0 {\displaystyle h_{0}}

est celle donnée et p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Un exemple de base est une carte de recouvrement (en fait, une fibration est une généralisation d’une carte de recouvrement). Si E {\displaystyle E}

est un G-bundle principal, c’est-à-dire un espace avec une action de groupe (topologique) libre et transitive d’un groupe (topologique), alors la carte de projection p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

est un exemple de fibration.

Espaces de classification et opérations d’homotopieModifié

Donné un groupe topologique G, l’espace de classification pour les G-bundles principaux (« les » jusqu’à équivalence) est un espace B G {\displaystyle BG}.

tel que, pour chaque espace X, = {\displaystyle =}

{bundle G principal sur X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\mapsto f^{*}EG}

où

• le côté gauche est l’ensemble des classes d’homotopie des cartes X → B G {\displaystyle X\to BG}.
  

  ,

• ~ désigne l’isomorphisme de faisceaux, et
• = est donné par le retrait du faisceau distingué E G {\displaystyle EG}.
  

  sur B G {\displaystyle BG}

  

  (appelé faisceau universel) le long d’une carte X → B G {\displaystyle X\to BG}

  

  .

Le théorème de représentabilité de Brown garantit l’existence d’espaces classificateurs.

Spectre et cohomologie généraliséeModifier

L’idée qu’un espace classifiant classifie les bundles principaux peut être poussée plus loin. Par exemple, on peut essayer de classer les classes de cohomologie : étant donné un groupe abélien A (tel que Z {\displaystyle \mathbb {Z}}. }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

où K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

est l’espace d’Eilenberg-MacLane. L’équation ci-dessus conduit à la notion de théorie de la cohomologie généralisée ; c’est-à-dire un foncteur contravariant de la catégorie des espaces à la catégorie des groupes abéliens qui satisfait les axiomes généralisant la théorie de la cohomologie ordinaire. Il s’avère qu’un tel foncteur peut ne pas être représentable par un espace mais il peut toujours être représenté par une séquence d’espaces (pointus) avec des cartes de structure appelée spectre. En d’autres termes, donner une théorie de la cohomologie généralisée, c’est donner un spectre.

Un exemple de base d’un spectre est un spectre de sphère : S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }.