Théorie de Galois

PréhistoireEdit

La théorie de Galois trouve son origine dans l’étude des fonctions symétriques – les coefficients d’un polynôme monique sont (jusqu’au signe) les polynômes symétriques élémentaires des racines. Par exemple, (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, où 1, a + b et ab sont les polynômes élémentaires de degré 0, 1 et 2 en deux variables.

Cela a été formalisé pour la première fois par le mathématicien français du XVIe siècle François Viète, dans les formules de Viète, pour le cas des racines réelles positives. De l’avis du mathématicien britannique du XVIIIe siècle Charles Hutton, l’expression des coefficients d’un polynôme en termes de racines (pas seulement pour les racines positives) a été comprise pour la première fois par le mathématicien français du XVIIe siècle Albert Girard ; Hutton écrit:

… la première personne qui a compris la doctrine générale de la formation des coefficients des puissances à partir de la somme des racines et de leurs produits. Il fut le premier à découvrir les règles de sommation des puissances des racines de n’importe quelle équation.

Dans cette veine, le discriminant est une fonction symétrique dans les racines qui reflète les propriétés des racines – il est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple, et pour les polynômes quadratiques et cubiques, il est positif si et seulement si toutes les racines sont réelles et distinctes, et négatif si et seulement s’il existe une paire de racines complexes conjuguées distinctes. Voir Discriminant:Nature des racines pour plus de détails.

Le cubique a d’abord été partiellement résolu par le mathématicien italien du 15-16e siècle Scipione del Ferro, qui n’a cependant pas publié ses résultats ; cette méthode, cependant, ne résolvait qu’un seul type d’équation cubique. Cette solution a ensuite été redécouverte indépendamment en 1535 par Niccolò Fontana Tartaglia, qui l’a partagée avec Gerolamo Cardano, en lui demandant de ne pas la publier. Cardano a ensuite étendu cette solution à de nombreux autres cas, en utilisant des arguments similaires ; pour plus de détails, voir la méthode de Cardano. Après la découverte des travaux de del Ferro, il a estimé que la méthode de Tartaglia n’était plus secrète, et a donc publié sa solution dans son Ars Magna de 1545. Son élève Lodovico Ferrari a résolu le polynôme quartique ; sa solution a également été incluse dans Ars Magna. Dans ce livre, cependant, Cardano n’a pas fourni de « formule générale » pour la solution d’une équation cubique, car il ne disposait ni des nombres complexes, ni de la notation algébrique permettant de décrire une équation cubique générale. Avec le bénéfice de la notation moderne et des nombres complexes, les formules de ce livre fonctionnent dans le cas général, mais Cardano ne le savait pas. C’est Rafael Bombelli qui a réussi à comprendre comment travailler avec les nombres complexes afin de résoudre toutes les formes d’équation cubique.

Une étape supplémentaire fut l’article de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations du mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange, dans sa méthode des résolvants de Lagrange, où il analysa la solution des cubiques et des quartiques de Cardano et Ferrari en les considérant en termes de permutations des racines, ce qui donna un polynôme auxiliaire de degré inférieur, fournissant une compréhension unifiée des solutions et posant les bases de la théorie des groupes et de la théorie de Galois. Cependant, il n’a pas considéré la composition des permutations, ce qui est crucial. La méthode de Lagrange ne s’étendait pas aux équations quintiques ou plus, parce que le résolvant avait un degré plus élevé.

La quintique a presque été prouvée comme n’ayant pas de solutions générales par radicaux par Paolo Ruffini en 1799, dont la perspicacité clé était d’utiliser des groupes de permutation, pas seulement une seule permutation. Sa solution contenait une lacune, que Cauchy considérait comme mineure, bien que celle-ci n’ait pas été corrigée jusqu’aux travaux du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel, qui a publié une preuve en 1824, établissant ainsi le théorème d’Abel-Ruffini.

Alors que Ruffini et Abel ont établi que le quintique général ne pouvait pas être résolu, certains quintiques particuliers peuvent être résolus, comme x5 – 1 = 0, et le critère précis par lequel un quintique ou un polynôme supérieur donné pouvait être déterminé comme étant soluble ou non a été donné par Évariste Galois, qui a montré que le fait qu’un polynôme soit soluble ou non était équivalent à la question de savoir si le groupe de permutation de ses racines – en termes modernes, son groupe de Galois – avait une certaine structure – en termes modernes, si c’était un groupe soluble ou non. Ce groupe était toujours solvable pour les polynômes de degré quatre ou moins, mais pas toujours pour les polynômes de degré cinq et plus, ce qui explique pourquoi il n’y a pas de solution générale dans les degrés supérieurs.

Les écrits de GaloisEdit

Un portrait d’Évariste Galois âgé d’environ 15

En 1830, Galois (à l’âge de 18 ans) a soumis à l’Académie des sciences de Paris un mémoire sur sa théorie de la solvabilité par les radicaux ; Le mémoire de Galois est finalement rejeté en 1831 car il est trop sommaire et parce qu’il donne une condition en termes de racines de l’équation au lieu de ses coefficients. Galois meurt ensuite dans un duel en 1832, et son article, « Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux », reste inédit jusqu’en 1846, date à laquelle il est publié par Joseph Liouville, accompagné de certaines de ses propres explications. Avant cette publication, Liouville avait annoncé le résultat de Galois à l’Académie dans un discours prononcé le 4 juillet 1843. Selon Allan Clark, la caractérisation de Galois « supplante de façon spectaculaire le travail d’Abel et de Ruffini. »

SuccèsModification

La théorie de Galois était notoirement difficile à comprendre pour ses contemporains, surtout au niveau où ils pouvaient la développer. Par exemple, dans son commentaire de 1846, Liouville a complètement manqué le noyau de la théorie des groupes de la méthode de Galois. Joseph Alfred Serret, qui a assisté à certaines des conférences de Liouville, a inclus la théorie de Galois dans son manuel Cours d’algèbre supérieure de 1866 (troisième édition). L’élève de Serret, Camille Jordan, a eu une compréhension encore meilleure reflétée dans son livre de 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. En dehors de la France, la théorie de Galois est restée plus obscure pendant une plus longue période. En Grande-Bretagne, Cayley n’a pas réussi à en saisir la profondeur et les manuels d’algèbre britanniques populaires n’ont même pas mentionné la théorie de Galois jusqu’à bien après le début du siècle. En Allemagne, les écrits de Kronecker se concentraient davantage sur le résultat d’Abel. Dedekind a peu écrit sur la théorie de Galois, mais a donné une conférence à ce sujet à Göttingen en 1858, montrant une très bonne compréhension. Les livres d’Eugen Netto dans les années 1880, basés sur le Traité de Jordan, ont rendu la théorie de Galois accessible à un public allemand et américain plus large, tout comme le manuel d’algèbre de Heinrich Martin Weber en 1895.