Symétrie de jauge (mathématiques)

En mathématiques, tout système lagrangien admet généralement des symétries de jauge, bien qu’il puisse arriver qu’elles soient triviales. En physique théorique, la notion de symétries de jauge dépendant de fonctions de paramètres est une pierre angulaire de la théorie des champs contemporaine.

Une symétrie de jauge d’un lagrangien L{displaystyle L} est définie comme un opérateur différentiel sur un certain faisceau de vecteurs E {\displaystyle E}. en prenant ses valeurs dans l’espace linéaire des symétries (variationnelles ou exactes) de L {\displaystyle L} . Par conséquent, une symétrie de jauge de L {\displaystyle L} dépend de sections de E {\displaystyle E} et de leurs dérivées partielles. C’est par exemple le cas des symétries de jauge en théorie classique des champs. La théorie de la jauge de Yang-Mills et la théorie de la gravitation de jauge sont des exemples de théories des champs classiques avec symétries de jauge.

Les symétries de jauge possèdent les deux particularités suivantes.

1. Etant des symétries lagrangiennes, les symétries de jauge d’un lagrangien satisfont d’abord le théorème de Noether, mais le courant conservé correspondant J μ {\displaystyle J^{\mu }}. prend une forme superpotentielle particulière J μ = W μ + d ν U ν μ {\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }} où le premier terme W μ {\displaystyle W^{\mu }} disparaît sur les solutions des équations d’Euler-Lagrange et le second est un terme limite, où U ν μ {\displaystyle U^{\nu \mu }} est appelé un superpotentiel.
2. En accord avec le second théorème de Noether, il existe une correspondance biunivoque entre les symétries de jauge d’un lagrangien et les identités de Noether que l’opérateur Euler-Lagrange satisfait. Par conséquent, les symétries de jauge caractérisent la dégénérescence d’un système lagrangien.

Notez que, dans la théorie quantique des champs, une fonctionnelle génératrice échoue à être invariante sous les transformations de jauge, et les symétries de jauge sont remplacées par les symétries BRST, dépendant des fantômes et agissant à la fois sur les champs et les fantômes.