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Surface gaussienne

Voir aussi : Densité de charge
Exemples de surfaces gaussiennes valides (gauche) et invalides (droite). Gauche : Certaines surfaces gaussiennes valides comprennent la surface d’une sphère, la surface d’un tore et la surface d’un cube. Ce sont des surfaces fermées qui entourent complètement un volume 3D. A droite : Certaines surfaces qui NE PEUVENT PAS être utilisées comme surfaces gaussiennes, telles que la surface d’un disque, d’un carré ou d’un hémisphère. Elles n’enferment pas complètement un volume 3D et ont des limites (rouge). Notez que les plans infinis peuvent s’approcher des surfaces gaussiennes.

La plupart des calculs utilisant des surfaces gaussiennes commencent par mettre en œuvre la loi de Gauss (pour l’électricité):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}.

\Phi_E = \,\!
\oiint

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

{\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{\enc}}{\varepsilon _{0}}.\!}

{\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}{\varepsilon _{0}}.\,\!}

Donc Qenc est la charge électrique enfermée par la surface gaussienne.

C’est la loi de Gauss, combinant à la fois le théorème de divergence et la loi de Coulomb.

Surface sphériqueEdit

Une surface gaussienne sphérique est utilisée pour trouver le champ électrique ou le flux produit par l’un des éléments suivants :

  • une charge ponctuelle
  • une coquille sphérique de charge uniformément répartie
  • toute autre distribution de charge à symétrie sphérique

La surface gaussienne sphérique est choisie de façon à être concentrique à la distribution de charge.

À titre d’exemple, considérons une coquille sphérique chargée S d’épaisseur négligeable, avec une charge uniformément distribuée Q et un rayon R. Nous pouvons utiliser la loi de Gauss pour trouver la magnitude du champ électrique résultant E à une distance r du centre de la coquille chargée. Il est immédiatement apparent que pour une surface gaussienne sphérique de rayon r < R, la charge enfermée est nulle : donc le flux net est nul et l’amplitude du champ électrique sur la surface gaussienne est également nulle (en laissant QA = 0 dans la loi de Gauss, où QA est la charge enfermée par la surface gaussienne).

Avec le même exemple, en utilisant une surface gaussienne plus grande à l’extérieur de la coquille où r > R, la loi de Gauss produira un champ électrique non nul. Celui-ci est déterminé comme suit.

Le flux sortant de la surface sphérique S est :

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}

<scriptstyle \partial S\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}

\mathbf{E}\cdot d \mathbf{A} = \int\!\!\!\!\int_c E dA\cos 0^\circ = E \int\!\!\!\!\!\int_S dA \,\ !

La surface de la sphère de rayon r est

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}

\int\!\!\!\int_S dA = 4 \pi r^2

ce qui implique

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

\Phi_E = E 4\pi r^2

Par la loi de Gauss, le flux est aussi

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}}.

\Phi_E =\frac{Q_A}{\varepsilon_0}

finalement la mise en équation de l’expression de ΦE donne la grandeur du champ E à la position r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}.}

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{Q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}.

Ce résultat non trivial montre que toute distribution sphérique de charge agit comme une charge ponctuelle lorsqu’elle est observée de l’extérieur de la distribution de charge ; c’est en fait une vérification de la loi de Coulomb. Et, comme mentionné, toute charge extérieure ne compte pas.

Surface cylindriqueEdit

Une surface gaussienne cylindrique est utilisée pour trouver le champ électrique ou le flux produit par l’un des éléments suivants :

  • une ligne infiniment longue de charge uniforme
  • un plan infini de charge uniforme
  • un cylindre infiniment long de charge uniforme

Un exemple « champ près d’une charge linéaire infinie » est donné ci-dessous;

Considérons un point P à une distance r d’une charge linéaire infinie ayant une densité de charge (charge par unité de longueur) λ. Imaginez une surface fermée en forme de cylindre dont l’axe de rotation est la charge linéaire. Si h est la longueur du cylindre, alors la charge enfermée dans le cylindre est

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}.

q = \lambda h

,

où q est la charge enfermée dans la surface gaussienne. Il y a trois surfaces a, b et c comme le montre la figure. L’aire du vecteur différentiel est dA, sur chaque surface a, b et c.

Surface fermée sous la forme d’un cylindre ayant une charge linéaire au centre et montrant les aires différentielles dAdes trois surfaces.

Le flux passant se compose des trois contributions:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}.

\Phi_E = \,\!
\oiint

A {\displaystyle \scriptstyle A\,\!}

<scriptstyle A\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int\!\!\!\!\N-int_a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\int_b\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\N-int_c\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}

Pour les surfaces a et b, E et dA seront perpendiculaires.Pour la surface c, E et dA seront parallèles, comme le montre la figure.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&= \int \ !\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=Eint \!\!\!\!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}

\begin{align} \Phi_E = \int\!\!\!\!\int_a E dA\cos 90^\circ + \int\!\!\!\!\int_b E d A \cos 90^\circ + \int\!\!\!\!\!\int_c E d A\cos 0^\circ \ = E \int\!\!\!\!\!\int_c dA\\\end{align}

La surface du cylindre est

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

\int\!\!\!\int_c dA = 2 \pi r h

qui implique

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

\Phi_E = E 2 \pi r h

Selon la loi de Gauss

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0}

L’équation pour ΦE donne

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}

E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r}

Le pilulier gaussienEdit

Cette surface est le plus souvent utilisée pour déterminer le champ électrique dû à une feuille infinie de charge avec une densité de charge uniforme, ou une dalle de charge avec une certaine épaisseur finie. Le pilulier a une forme cylindrique, et on peut considérer qu’il est constitué de trois éléments : le disque à une extrémité du cylindre de surface πR², le disque à l’autre extrémité de surface égale, et le côté du cylindre. La somme du flux électrique à travers chaque composant de la surface est proportionnelle à la charge enfermée du pilulier, comme le dicte la loi de Gauss. Parce que le champ près de la feuille peut être approximé comme constant, la casemate est orientée de manière à ce que les lignes de champ pénètrent les disques aux extrémités du champ à un angle perpendiculaire et que le côté du cylindre soit parallèle aux lignes de champ.

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