Probabilité géométrique

Les problèmes du type suivant, et leurs techniques de résolution, ont été étudiés pour la première fois au 18e siècle, et le sujet général est devenu connu sous le nom de probabilité géométrique.

• (Aiguille de Buffon) Quelle est la probabilité qu’une aiguille lâchée au hasard sur un sol marqué de lignes parallèles équidistantes traverse l’une des lignes ?
• Quelle est la longueur moyenne d’une corde aléatoire d’un cercle unitaire ? (cf. paradoxe de Bertrand).
• Quelle est la probabilité que trois points aléatoires du plan forment un triangle aigu (plutôt qu’obtus) ?
• Quelle est l’aire moyenne des régions polygonales formées lorsque des lignes orientées au hasard sont réparties sur le plan ?

Pour le développement mathématique, voir la monographie concise de Solomon.

Depuis la fin du 20e siècle, le sujet s’est divisé en deux sujets avec des accents différents. La géométrie intégrale est née du principe que les modèles de probabilité mathématiquement naturels sont ceux qui sont invariants sous certains groupes de transformation. Ce sujet met l’accent sur le développement systématique de formules de calcul des valeurs attendues associées aux objets géométriques dérivés de points aléatoires, et peut être considéré en partie comme une branche sophistiquée du calcul multivarié. La géométrie stochastique met l’accent sur les objets géométriques aléatoires eux-mêmes. Par exemple : différents modèles pour les lignes aléatoires ou pour les tesselles aléatoires du plan ; les ensembles aléatoires formés en faisant des points d’un processus de Poisson spatial des centres de disques (par exemple).