Hypothèse du continuum

Hypothèse du continuum, énoncé de la théorie des ensembles selon lequel l’ensemble des nombres réels (le continuum) est en un sens aussi petit qu’il peut l’être. En 1873, le mathématicien allemand Georg Cantor a prouvé que le continuum est indénombrable – c’est-à-dire que les nombres réels sont une infinité plus grande que les nombres de comptage – un résultat clé dans le lancement de la théorie des ensembles comme sujet mathématique. En outre, Cantor a mis au point un moyen de classer la taille des ensembles infinis en fonction du nombre de leurs éléments, ou cardinalité. (Voir théorie des ensembles : cardinalité et nombres transfinis.) En ces termes, l’hypothèse du continuum peut être énoncée comme suit : La cardinalité du continuum est le plus petit nombre cardinal indénombrable.

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théorie des ensembles : Cardinalité et nombres transfinis

…une conjecture connue sous le nom d’hypothèse du continuum.

Dans la notation de Cantor, l’hypothèse du continuum peut être énoncée par l’équation simple 2ℵ0 = ℵ1, où ℵ0 est le nombre cardinal d’un ensemble infini dénombrable (tel que l’ensemble des nombres naturels), et les nombres cardinaux des plus grands « ensembles bien ordonnables » sont ℵ1, ℵ2, …., ℵα, …, indexés par les nombres ordinaux. On peut montrer que la cardinalité du continuum est égale à 2ℵ0 ; ainsi, l’hypothèse du continuum exclut l’existence d’un ensemble de taille intermédiaire entre les nombres naturels et le continuum.

Un énoncé plus fort est l’hypothèse du continu généralisé (GCH) : 2ℵα = ℵα + 1 pour chaque nombre ordinal α. Le mathématicien polonais Wacław Sierpiński a prouvé qu’avec la GCH on peut dériver l’axiome du choix.

Comme pour l’axiome du choix, le mathématicien américain d’origine autrichienne Kurt Gödel a prouvé en 1939 que, si les autres axiomes standard de Zermelo-Fraenkel (ZF ; voir le ) sont cohérents, alors ils ne réfutent pas l’hypothèse du continu ou même la GCH. C’est-à-dire que le résultat de l’ajout de GCH aux autres axiomes reste cohérent. Puis en 1963, le mathématicien américain Paul Cohen a complété le tableau en montrant, toujours sous l’hypothèse que ZF est cohérent, que ZF ne donne pas une preuve de l’hypothèse du continuum.

Puisque ZF ne prouve ni ne réfute l’hypothèse du continuum, il reste la question de savoir s’il faut accepter l’hypothèse du continuum sur la base d’un concept informel de ce que sont les ensembles. La réponse générale de la communauté mathématique a été négative : l’hypothèse du continuum est une déclaration limitative dans un contexte où il n’y a aucune raison connue d’imposer une limite. En théorie des ensembles, l’opération power-set attribue à chaque ensemble de cardinalité ℵα son ensemble de tous les sous-ensembles, qui a une cardinalité de 2ℵα. Il ne semble pas y avoir de raison d’imposer une limite à la variété des sous-ensembles que peut avoir un ensemble infini.