Homomorphisme
Plusieurs types d’homomorphismes ont un nom spécifique, qui est également défini pour les morphismes généraux.
IsomorphismeModification
Un isomorphisme entre structures algébriques de même type est communément défini comme un homomorphisme bijectif.:134 :28
Dans le contexte plus général de la théorie des catégories, un isomorphisme est défini comme un morphisme qui a un inverse qui est aussi un morphisme. Dans le cas spécifique des structures algébriques, les deux définitions sont équivalentes, bien qu’elles puissent différer pour les structures non algébriques, qui ont un ensemble sous-jacent.
Plus précisément, si
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
est un (homo)morphisme, il a un inverse s’il existe un homomorphisme
g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
de sorte que
f ∘ g = Id B et g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{et}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
If A {\displaystyle A}
et B {\displaystyle B}
ont des ensembles sous-jacents, et f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
a un inverse g {\displaystyle g}
, alors f {\displaystyle f}
est bijective. En fait, f {\displaystyle f}
est injective, car f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
implique x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y 
est surjective, car, pour tout x {\displaystyle x}
dans B {\displaystyle B}
, on a x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, et x {\displaystyle x}
est l’image d’un élément de A {\displaystyle A}
.
Conversement, si f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
est un homomorphisme bijectif entre structures algébriques, que g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
être la carte telle que g ( y ) {\displaystyle g(y)}
est l’unique élément x {\displaystyle x}
de A {\displaystyle A}
tel que f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. On a f ∘ g = Id B et g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\i1}et }g\circ f={\i1}opérateur de nom{\i} {Id} _{A},}
et il ne reste plus qu’à montrer que g est un homomorphisme. Si ∗ {\displaystyle *}
est une opération binaire de la structure, pour toute paire x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y}
d’éléments de B {\displaystyle B}
, on a g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ∗ B f ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}
et g {\displaystyle g}
est donc compatible avec ∗ . {\displaystyle *.}
Comme la preuve est similaire pour tout arité, ceci montre que g {\displaystyle g}
est un homomorphisme.
Cette preuve ne fonctionne pas pour les structures non algébriques. Par exemple, pour les espaces topologiques, un morphisme est une carte continue, et l’inverse d’une carte continue bijective n’est pas nécessairement continue. Un isomorphisme d’espaces topologiques, appelé homéomorphisme ou carte bicontinue, est donc une carte continue bijective, dont l’inverse est également continue.
EndomorphismeEdit
Un endomorphisme est un homomorphisme dont le domaine est égal au codomaine, ou, plus généralement, un morphisme dont la source est égale à la cible.:135
Les endomorphismes d’une structure algébrique, ou d’un objet d’une catégorie forment un monoïde sous composition.
Les endomorphismes d’un espace vectoriel ou d’un module forment un anneau. Dans le cas d’un espace vectoriel ou d’un module libre de dimension finie, le choix d’une base induit un isomorphisme d’anneau entre l’anneau des endomorphismes et l’anneau des matrices carrées de même dimension.
AutomorphismeEdit
Un automorphisme est un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.:135
Les automorphismes d’une structure algébrique ou d’un objet d’une catégorie forment un groupe sous composition, qu’on appelle le groupe d’automorphisme de la structure.
De nombreux groupes qui ont reçu un nom sont des groupes d’automorphisme de quelque structure algébrique. Par exemple, le groupe linéaire général GL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
est le groupe d’automorphisme d’un espace vectoriel de dimension n {\displaystyle n}.
sur un champ k {\displaystyle k}
.
Les groupes d’automorphisme des champs ont été introduits par Évariste Galois pour étudier les racines des polynômes, et sont à la base de la théorie de Galois.
MonomorphismeEdit
Pour les structures algébriques, les monomorphismes sont communément définis comme des homomorphismes injectifs.:134 :29
Dans le contexte plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme est défini comme un morphisme annulable à gauche. Cela signifie qu’un (homo)morphisme f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
est un monomorphisme si, pour toute paire g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
de morphismes de tout autre objet C {\displaystyle C}
à A {\displaystyle A}
, alors f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
implique g = h {\displaystyle g=h}
.
Ces deux définitions du monomorphisme sont équivalentes pour toutes les structures algébriques courantes. Plus précisément, elles sont équivalentes pour les champs, pour lesquels tout homomorphisme est un monomorphisme, et pour les variétés de l’algèbre universelle, c’est-à-dire les structures algébriques pour lesquelles les opérations et les axiomes (identités) sont définis sans aucune restriction (les champs ne sont pas une variété, car l’inverse multiplicatif est défini soit comme une opération unaire, soit comme une propriété de la multiplication, qui ne sont, dans les deux cas, définis que pour les éléments non nuls).
En particulier, les deux définitions d’un monomorphisme sont équivalentes pour les ensembles, les magmas, les semigroupes, les monoïdes, les groupes, les anneaux, les champs, les espaces vectoriels et les modules.
Un monomorphisme scindé est un homomorphisme qui a un inverse gauche et donc il est lui-même un inverse droit de cet autre homomorphisme. C’est-à-dire qu’un homomorphisme f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
est un monomorphisme scindé s’il existe un homomorphisme g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
tel que g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Un monomorphisme scindé est toujours un monomorphisme, pour les deux sens de monomorphisme. Pour les ensembles et les espaces vectoriels, tout monomorphisme est un monomorphisme scindé, mais cette propriété ne tient pas pour les structures algébriques les plus courantes.
Un homomorphisme injectif est annulable à gauche : Si f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
on a f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
pour tout x {\displaystyle x}
dans C {\displaystyle C}
, la source commune de g {\displaystyle g}
et h {\displaystyle h}
. Si f {\displaystyle f}
est injective, alors g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}.
, et donc g = h {\displaystyle g=h}
. Cette preuve fonctionne non seulement pour les structures algébriques, mais aussi pour toute catégorie dont les objets sont des ensembles et les flèches des cartes entre ces ensembles. Par exemple, une carte continue injective est un monomorphisme dans la catégorie des espaces topologiques.
Pour prouver que, inversement, un homomorphisme annulable à gauche est injectif, il est utile de considérer un objet libre sur x {\displaystyle x}
. Étant donné une variété de structures algébriques, un objet libre sur x {\displaystyle x}
est une paire constituée d’une structure algébrique L {\displaystyle L}
de cette variété et un élément x {\displaystyle x}
de L {\displaystyle L}
satisfaisant la propriété universelle suivante : pour toute structure S {\displaystyle S}
de la variété, et tout élément s {\displaystyle s}
de S {\displaystyle S}
, il existe un unique homomorphisme f : L → S {\displaystyle f:L\to S}
tel que f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. Par exemple, pour les ensembles, l’objet libre sur x {\displaystyle x}
est simplement { x }. {\displaystyle \{x}}
; pour les semigroupes, l’objet libre sur x {\displaystyle x}
est { x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
qui, en tant que semigroupe, est isomorphe au semigroupe additif des entiers positifs ; pour les monoïdes, l’objet libre sur x {\displaystyle x}
est { 1 , x , x 2 , …. , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
qui, en tant que monoïde, est isomorphe au monoïde additif des entiers non négatifs ; pour les groupes, l’objet libre sur x {\displaystyle x}
est le groupe cyclique infini {…. , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
qui, en tant que, groupe, est isomorphe au groupe additif des entiers ; pour les anneaux, l’objet libre sur x {\displaystyle x}
} est l’anneau polynomial Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
pour les espaces vectoriels ou les modules, l’objet libre sur x {\displaystyle x}
est l’espace vectoriel ou le module libre qui a x {\displaystyle x}
comme base.
Si un objet libre sur x {\displaystyle x}
existe, alors tout homomorphisme annulable à gauche est injectif : que f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
être un homomorphisme annulable à gauche, et a {\displaystyle a}
et b {\displaystyle b}
être deux éléments de A {\displaystyle A}
tels que f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Par définition de l’objet libre F {\displaystyle F}
, il existe des homomorphismes g {\displaystyle g}
et h {\displaystyle h}
de F {\displaystyle F}
à A {\displaystyle A}
tel que g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
et h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}
. Comme f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, on a f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
par l’unicité dans la définition d’une propriété universelle. Comme f {\displaystyle f}
est annulable à gauche, on a g = h {\displaystyle g=h}
, et donc a = b {\displaystyle a=b}
. Par conséquent, f {\displaystyle f}
est injective.
Existence d’un objet libre sur x {\displaystyle x}
pour une variété (voir aussi Objet libre § Existence) : Pour construire un objet libre sur x {\displaystyle x}
, on considère l’ensemble W {\displaystyle W}.
des formules bien formées construites à partir de x {\displaystyle x}
et des opérations de la structure. Deux telles formules sont dites équivalentes si on peut passer de l’une à l’autre en appliquant les axiomes (identités de la structure). Ceci définit une relation d’équivalence, si les identités ne sont pas soumises à des conditions, c’est-à-dire si l’on travaille avec une variété. Alors les opérations de la variété sont bien définies sur l’ensemble des classes d’équivalence de W {\displaystyle W}.
pour cette relation. Il est simple de montrer que l’objet résultant est un objet libre sur W {\displaystyle W}
.
EpimorphismeEdit
En algèbre, les épimorphismes sont souvent définis comme des homomorphismes surjectifs.:134:43 D’autre part, en théorie des catégories, les épimorphismes sont définis comme des morphismes annulables à droite. Cela signifie qu’un (homo)morphisme f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
est un épimorphisme si, pour toute paire g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
de morphismes de B {\displaystyle B}
à tout autre objet C {\displaystyle C}
, l’égalité g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
implique g = h {\displaystyle g=h}
.
Un homomorphisme surjectif est toujours annulable à droite, mais la réciproque n’est pas toujours vraie pour les structures algébriques. Cependant, les deux définitions de l’épimorphisme sont équivalentes pour les ensembles, les espaces vectoriels, les groupes abéliens, les modules (voir ci-dessous pour une preuve), et les groupes. L’importance de ces structures dans toutes les mathématiques, et spécialement en algèbre linéaire et en algèbre homologique, peut expliquer la coexistence de deux définitions non équivalentes.
Les structures algébriques pour lesquelles il existe des épimorphismes non-surjectifs incluent les semigroupes et les anneaux. L’exemple le plus fondamental est l’inclusion des entiers dans les nombres rationnels, qui est un homomorphisme d’anneaux et de semigroupes multiplicatifs. Pour les deux structures, c’est un monomorphisme et un épimorphisme non-surjectif, mais pas un isomorphisme.
Une large généralisation de cet exemple est la localisation d’un anneau par un ensemble multiplicatif. Toute localisation est un épimorphisme d’anneau, qui n’est pas, en général, surjectif. Comme les localisations sont fondamentales en algèbre commutative et en géométrie algébrique, cela peut expliquer pourquoi, dans ces domaines, on préfère généralement la définition des épimorphismes comme homomorphismes annulables à droite.
Un épimorphisme scindé est un homomorphisme qui a un inverse à droite et qui est donc lui-même un inverse à gauche de cet autre homomorphisme. C’est-à-dire qu’un homomorphisme f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
est un épimorphisme scindé s’il existe un homomorphisme g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
tel que f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}
Un épimorphisme scindé est toujours un épimorphisme, pour les deux sens de l’épimorphisme. Pour les ensembles et les espaces vectoriels, tout épimorphisme est un épimorphisme scindé, mais cette propriété ne tient pas pour les structures algébriques les plus courantes.
En résumé, on a
épimorphisme scindé ⟹ épimorphisme (surjectif) ⟹ épimorphisme (annulable à droite) ; {\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{épimorphisme (surjectif)}}\implies {\text{épimorphisme (annulable à droite)}};}
la dernière implication est une équivalence pour les ensembles, les espaces vectoriels, les modules et les groupes abéliens ; la première implication est une équivalence pour les ensembles et les espaces vectoriels.
Let f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}.
soit un homomorphisme. On veut prouver que s’il n’est pas surjectif, il n’est pas annulable à droite.
Dans le cas des ensembles, soit b {\displaystyle b}
un élément de B {\displaystyle B}.
qui n’appartient pas à f ( A ) {\displaystyle f(A)}
, et définissons g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}
tels que g {\displaystyle g}
est la fonction d’identité, et que h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
pour tout x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
sauf que h ( b ) {\displaystyle h(b)}
est tout autre élément de B {\displaystyle B}
. Clairement f {\displaystyle f}
n’est pas annulable à droite, car g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
et g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}
Dans le cas des espaces vectoriels, des groupes abéliens et des modules, la preuve repose sur l’existence de cokernels et sur le fait que les applications nulles sont des homomorphismes : soit C {\displaystyle C}.
soit le cokernel de f {\displaystyle f}
, et g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}
être la carte canonique, telle que g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}
. Soit h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}
être la carte zéro. Si f {\displaystyle f}
n’est pas surjective, C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}
, et donc g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
(l’une est une carte nulle, tandis que l’autre ne l’est pas). Ainsi f {\displaystyle f}
n’est pas annulable, car g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
(les deux sont la carte zéro de A {\displaystyle A}
à C {\displaystyle C}
).
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