Homéomorphisme

Espace topologique

Un des concepts structurels les plus fondamentaux en topologie est de transformer un ensemble X en un espace topologique en spécifiant une collection de sous-ensembles T de X. Une telle collection doit satisfaire trois axiomes : (1) l’ensemble X lui-même et l’ensemble vide sont membres de T, (2) l’intersection de tout nombre fini d’ensembles dans T est dans T, et (3) l’union de toute collection d’ensembles dans T est dans T. Les ensembles dans T sont appelés ensembles ouverts et T est appelé une topologie sur X. Par exemple, la ligne des nombres réels devient un espace topologique lorsque sa topologie est spécifiée comme la collection de toutes les unions possibles d’intervalles ouverts – tels que (-5, 2), (1/2, π), (0, racine carrée de√2), ….. (Un processus analogue produit une topologie sur un espace métrique.) D’autres exemples de topologies sur des ensembles se produisent purement en termes de théorie des ensembles. Par exemple, la collection de tous les sous-ensembles d’un ensemble X est appelée la topologie discrète sur X, et la collection constituée uniquement de l’ensemble vide et de X lui-même forme la topologie indiscrète, ou triviale, sur X. Un espace topologique donné donne naissance à d’autres espaces topologiques apparentés. Par exemple, un sous-ensemble A d’un espace topologique X hérite d’une topologie, appelée topologie relative, de X lorsque les ensembles ouverts de A sont considérés comme les intersections de A avec les ensembles ouverts de X. L’énorme variété des espaces topologiques fournit une riche source d’exemples pour motiver les théorèmes généraux, ainsi que des contre-exemples pour démontrer les conjectures fausses. De plus, la généralité des axiomes pour un espace topologique permet aux mathématiciens de considérer de nombreuses sortes de structures mathématiques, telles que les collections de fonctions en analyse, comme des espaces topologiques et ainsi expliquer les phénomènes associés de nouvelles façons.

Un espace topologique peut également être défini par un ensemble alternatif d’axiomes impliquant des ensembles fermés, qui sont des compléments des ensembles ouverts. Dans les premières considérations sur les idées topologiques, notamment pour les objets de l’espace euclidien à n dimensions, les ensembles fermés étaient apparus naturellement dans l’étude de la convergence des suites infinies (voir séries infinies). Il est souvent commode ou utile de supposer des axiomes supplémentaires pour une topologie afin d’établir des résultats qui sont valables pour une classe importante d’espaces topologiques mais pas pour tous les espaces topologiques. L’un de ces axiomes exige que deux points distincts appartiennent à des ensembles ouverts disjoints. Un espace topologique satisfaisant cet axiome a été appelé un espace de Hausdorff.