Gyroïde

Le gyroïde est l’unique membre encastré non trivial de la famille des associés des surfaces P et D de Schwarz. Son angle d’association par rapport à la surface D est d’environ 38,01°. Le gyroïde est similaire au lidinoïde. La gyroïde a été découverte en 1970 par Alan Schoen, un scientifique de la NASA. Il a calculé l’angle d’association et a fait une démonstration convaincante à l’aide de photos de modèles plastiques complexes, mais n’a pas apporté la preuve de l’encastrement. Schoen a noté que le gyroïde ne contient ni lignes droites ni symétries planes. Karcher a donné un traitement différent, plus contemporain, de la surface en 1989 en utilisant la construction de surfaces conjuguées. En 1996, Große-Brauckmann et Wohlgemuth ont prouvé qu’il est encastré, et en 1997, Große-Brauckmann a fourni des variantes CMC du gyroïde et a fait de nouvelles recherches numériques sur les fractions de volume des gyroïdes minimaux et CMC (courbure moyenne constante).

Le gyroïde sépare l’espace en deux labyrinthes de passages congruents opposés. Le gyroïde a le groupe d’espace I4132 (n° 214). Des canaux traversent les labyrinthes du gyroïde dans les directions (100) et (111) ; des passages émergent à des angles de 70,5 degrés par rapport à tout canal donné lorsqu’il est traversé, la direction dans laquelle ils le font tournant vers le bas du canal, d’où le nom de « gyroïde ». Une façon de visualiser la surface est de se représenter les « caténoïdes carrés » de la surface P (formée par deux carrés dans des plans parallèles, avec une taille presque circulaire) ; la rotation autour des bords du carré génère la surface P. Dans la famille associée, ces caténoïdes carrés « s’ouvrent » (de la même façon que le caténoïde « s’ouvre » en hélicoïde) pour former des rubans giratoires, puis deviennent finalement la surface de Schwarz D. Pour une valeur du paramètre de la famille associée, les rubans giratoires se trouvent précisément aux endroits requis pour avoir une surface encastrée.

Le gyroïde est la seule surface minimale triply périodique encastrée connue qui possède des jonctions triples et aucune ligne de symétrie réfléchissante, contrairement aux cinq surfaces minimales étudiées par Anderson et al. en 1990.

Le gyroïde fait référence au membre qui est dans la famille associée de la surface P de Schwarz, mais en fait le gyroïde existe dans plusieurs familles qui préservent diverses symétries de la surface ; une discussion plus complète des familles de ces surfaces minimales apparaît dans triply periodic minimal surfaces.

Curieusement, comme certaines autres surfaces minimales triples périodiques, la surface du gyroïde peut être trigonométriquement approchée par une courte équation:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}.