Géométrie différentielle

Géométrie différentielle, branche des mathématiques qui étudie la géométrie des courbes, des surfaces et des collecteurs (les analogues à plus haute dimension des surfaces). La discipline doit son nom à son utilisation des idées et des techniques du calcul différentiel, bien que le sujet moderne utilise souvent des techniques algébriques et purement géométriques à la place. Bien que les définitions de base, les notations et les descriptions analytiques varient considérablement, les questions géométriques suivantes prévalent : Comment mesure-t-on la courbure d’une courbe à l’intérieur d’une surface (intrinsèque) par rapport à l’espace environnant (extrinsèque) ? Comment peut-on mesurer la courbure d’une surface ? Quel est le chemin le plus court dans une surface entre deux points de la surface ? Comment le plus court chemin sur une surface est-il lié au concept de ligne droite ?

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Bien que les courbes aient été étudiées depuis l’antiquité, la découverte du calcul intégral au 17e siècle a ouvert l’étude de courbes planes plus compliquées – comme celles produites par le mathématicien français René Descartes (1596-1650) avec son « compas » (voir Histoire de la géométrie : géométrie cartésienne). En particulier, le calcul intégral a permis de trouver des solutions générales aux anciens problèmes de détermination de la longueur d’arc des courbes planes et de l’aire des figures planes. Ceci, à son tour, a ouvert la voie à l’étude des courbes et des surfaces dans l’espace – une étude qui a été le début de la géométrie différentielle.

Certaines des idées fondamentales de la géométrie différentielle peuvent être illustrées par la virgule, une bande en spirale souvent conçue par les ingénieurs pour donner un support structurel aux grands cylindres métalliques tels que les cheminées. Une virure peut être formée en découpant une bande annulaire (la région entre deux cercles concentriques) dans une feuille d’acier plate, puis en la pliant en une hélice qui s’enroule autour du cylindre, comme illustré sur la figure. Quel doit être le rayon r de l’anneau pour produire le meilleur ajustement ? La géométrie différentielle fournit la solution à ce problème en définissant une mesure précise pour la courbure d’une courbe ; ensuite r peut être ajusté jusqu’à ce que la courbure du bord intérieur de l’anneau corresponde à la courbure de l’hélice.

Une question importante demeure : La bande annulaire peut-elle être pliée, sans étirement, de manière à former une virure autour du cylindre ? En particulier, cela signifie que les distances mesurées le long de la surface (intrinsèque) sont inchangées. On dit que deux surfaces sont isométriques si l’une peut être pliée (ou transformée) en l’autre sans changer les distances intrinsèques. (Par exemple, comme une feuille de papier peut être enroulée en un tube sans s’étirer, la feuille et le tube sont « localement » isométriques – mais seulement localement, car de nouveaux trajets, éventuellement plus courts, sont créés en reliant les deux bords du papier). Ainsi, la deuxième question devient : La bande annulaire et la virure sont-elles isométriques ? Pour répondre à cette question et à des questions similaires, la géométrie différentielle a développé la notion de courbure d’une surface.