Espace de Hilbert
Espace de Hilbert, en mathématiques, un exemple d’espace à dimension infinie qui a eu un impact majeur en analyse et en topologie. Le mathématicien allemand David Hilbert a décrit pour la première fois cet espace dans ses travaux sur les équations intégrales et les séries de Fourier, qui ont occupé son attention pendant la période 1902-12.
Les points de l’espace de Hilbert sont des suites infinies (x1, x2, x3, …) de nombres réels qui sont sommables au carré, c’est-à-dire pour lesquels la série infinie x12 + x22 + x32 + … converge vers un nombre fini. En analogie directe avec l’espace euclidien à n dimensions, l’espace de Hilbert est un espace vectoriel dont le produit interne naturel, ou produit scalaire, fournit une fonction de distance. Sous cette fonction de distance, il devient un espace métrique complet et, ainsi, est un exemple de ce que les mathématiciens appellent un espace de produit interne complet.
Suite à l’investigation de Hilbert, le mathématicien austro-allemand Ernst Fischer et le mathématicien hongrois Frigyes Riesz ont prouvé que les fonctions intégrables au carré (fonctions telles que l’intégration du carré de leur valeur absolue est finie) pouvaient également être considérées comme des « points » dans un espace de produit interne complet qui est équivalent à l’espace de Hilbert. Dans ce contexte, l’espace de Hilbert a joué un rôle dans le développement de la mécanique quantique, et il est resté un outil mathématique important en mathématiques appliquées et en physique mathématique.
En analyse, la découverte de l’espace de Hilbert a inauguré l’analyse fonctionnelle, un nouveau domaine dans lequel les mathématiciens étudient les propriétés d’espaces linéaires assez généraux. Parmi ces espaces figurent les espaces de produits internes complets, que l’on appelle désormais espaces de Hilbert, une désignation utilisée pour la première fois en 1929 par le mathématicien américain d’origine hongroise John von Neumann pour décrire ces espaces de manière axiomatique abstraite. L’espace de Hilbert a également été une source de riches idées en topologie. En tant qu’espace métrique, l’espace de Hilbert peut être considéré comme un espace topologique linéaire de dimension infinie, et d’importantes questions liées à ses propriétés topologiques ont été soulevées dans la première moitié du XXe siècle. Motivés initialement par de telles propriétés des espaces de Hilbert, les chercheurs ont établi un nouveau sous-domaine de la topologie appelé topologie à dimension infinie dans les années 1960 et 1970.
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