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Coordonnées barycentriques

À la fin de la discussion sur le théorème de Ceva, nous sommes arrivés à la conclusion que, pour tout point K à l’intérieur de ΔABC, il existe trois masses wA, wB, et wC telles que, si elles sont placées aux sommets correspondants du triangle, leur centre de gravité (barycentre) coïncide avec le point K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) a défini (1827) wA, wB, et wC comme les coordonnées barycentriques de K. (Il est possible de généraliser et de considérer également des masses négatives pour les points extérieurs au triangle. Cela n’est pas nécessaire pour mes objectifs). Telles que définies, les coordonnées barycentriques ne sont pas uniques. Les masses kwA, kwB, et kwC ont exactement le même barycentre pour tout k > 0. Ainsi les coordonnées barycentriques sont une forme de coordonnées homogènes générales qui sont utilisées dans de nombreuses branches des mathématiques (et même en infographie). Avec une condition supplémentaire

(*) wA + wB + wC = 1

les coordonnées barycentriques sont définies de manière unique pour chaque point à l’intérieur du triangle. (Les coordonnées barycentriques qui satisfont (*) sont connues sous le nom de coordonnées aréales car, en supposant que l’aire de ΔABC est 1, les poids w sont égaux aux aires des triangles KBC, KAC et KAB). Puisque le centre de gravité de deux points quelconques se trouve sur le segment de connexion, wA = 0 pour les points sur BC, wB = 0 pour les points sur AC, et wC = 0 sur AB. Les sommets A,B,C ont des coordonnées (1,0,0), (0,1,0), et (0,0,1), respectivement.

La façon habituelle de définir le barycentre de trois points avec des masses données (appelons ces points matériels) est d’abord de placer la somme des masses de deux points quelconques à leur barycentre. Répétez ensuite la même opération (à une dimension) en appariant le nouveau point et le troisième point restant. (L’argument est formalisé dans le cadre de la géométrie affine. Je préfère garder la discussion intuitive). En supposant (*), si wA est maintenu fixe, la somme wB + wC le sera également. Il s’ensuit que pour deux positions possibles D et D’ du barycentre de B et C, nous avons DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Par conséquent, KK’ est parallèle à BC. En d’autres termes, l’équation wA = const décrit les lignes parallèles à BC. Comme nous l’avons déjà noté, l’équation de BC est wA = 0. Une relation similaire existe entre wB et AC et wC et AB.

Si Mb et Mc sont des points médians de AC et AB, respectivement, alors l’équation de MbMc est wA = 1/2. De même, MaMc = {(wA, wB, wC) : wB = 1/2} et MaMb = {(wA, wB, wC) : wC = 1/2}.

Regardons le schéma de droite. Dans le triangle bleu, les trois coordonnées sont inférieures à 1/2. Par conséquent, le premier chiffre de leur représentation binaire est zéro. Dans les triangles rouges, deux coordonnées sont inférieures à 1/4 et la troisième est comprise entre 1/2 et 3/4. Par conséquent, dans les triangles rouges, les trois coordonnées ont leur deuxième chiffre binaire à zéro. Cela conduit à la procédure de suppression du tréma pour construire le joint de Sierpinski et fournit un indice sur sa description dans les coordonnées barycentriques.

Les coordonnées barycentriques apparaissent naturellement chaque fois que des quantités variables ont une somme constante. Le problème des trois verres, où nous versons de l’eau d’un verre à un autre en supposant de façon irréaliste qu’aucune goutte d’eau ne sera renversée au cours du processus, en est un exemple saillant. Ce problème illustre magnifiquement le concept de coordonnées barycentriques.

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