Jatkuvuushypoteesi
Jatkuvuushypoteesi, joukko-opin väite, jonka mukaan reaalilukujen joukko (jatkumo) on tietyssä mielessä niin pieni kuin se voi olla. Vuonna 1873 saksalainen matemaatikko Georg Cantor osoitti, että jatkumo on laskematon – eli reaaliluvut ovat suurempi ääretön kuin laskennalliset luvut – keskeinen tulos joukko-opin aloittamisessa matemaattisena oppiaineena. Lisäksi Cantor kehitti tavan luokitella äärettömien joukkojen kokoa sen alkioiden lukumäärän eli kardinaalisuuden mukaan. (Katso joukko-oppi: Kardinaalisuus ja transfiniittiset luvut.) Näillä termeillä jatkumohypoteesi voidaan esittää seuraavasti: Jatkumon kardinaalisuus on pienin luettelematon kardinaaliluku.
Cantorin notaatiossa jatkumohypoteesi voidaan esittää yksinkertaisella yhtälöllä 2ℵ0 = ℵ1, jossa ℵ0 on äärettömän laskettavan joukon (kuten luonnollisten lukujen joukon) kardinaaliluku ja suurempien ”hyvin järjestettävien joukkojen” kardinaaliluvut ovat ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, jotka indeksoidaan järjestysluvuilla. Jatkumon kardinaalisuuden voidaan osoittaa olevan yhtä suuri kuin 2ℵ0; näin ollen jatkumohypoteesi sulkee pois sellaisen joukon olemassaolon, jonka koko on luonnollisten lukujen ja jatkumon välissä.
Vahvempi väite on yleistetty jatkumohypoteesi (Generalized Continuum Hypothesis, GCH): 2ℵα = ℵα + 1 jokaiselle ordinaaliluvulle α. Puolalainen matemaatikko Wacław Sierpiński osoitti, että GCH:n avulla voidaan johtaa valinta-aksiooma.
Valinta-aksiooman tavoin itävaltalaissyntyinen yhdysvaltalainen matemaatikko Kurt Gödel osoitti vuonna 1939, että jos muut tavanomaiset Zermelo-Fraenkelin aksioomat (ZF; ks. 
-taulukko) ovat johdonmukaisia, ne eivät kumoa kontinuumihypoteesia tai edes GCH:ta. Toisin sanoen tulos, joka saadaan lisäämällä GCH muihin aksioomiin, pysyy johdonmukaisena. Sitten vuonna 1963 yhdysvaltalainen matemaatikko Paul Cohen täydensi kuvaa osoittamalla, jälleen olettaen, että ZF on johdonmukainen, että ZF ei tuota todistusta kontinuumihypoteesille.
Koska ZF ei todista eikä kumoa kontinuumihypoteesia, jäljelle jää kysymys siitä, hyväksytäänkö kontinuumihypoteesi, joka perustuu epäviralliseen käsitykseen siitä, mitä joukot ovat. Yleinen vastaus matemaattisessa yhteisössä on ollut kielteinen: kontinuumihypoteesi on rajoittava väite asiayhteydessä, jossa ei tunneta syytä asettaa rajaa. Joukkoteoriassa potenssijoukko-operaatio määrittää jokaiselle kardinaalisuudeltaan ℵα joukolle sen kaikkien osajoukkojen joukon, jonka kardinaalisuus on 2ℵα. Ei näytä olevan mitään syytä asettaa rajoitusta sille, kuinka monta osajoukkoa äärettömällä joukolla voi olla.
Leave a Reply