Homotopiateoria

Avaruudet ja kartatEdit

Homotopiateoriassa ja algebrallisessa topologiassa sana ”avaruus” tarkoittaa topologista avaruutta. Patologioiden välttämiseksi työskennellään harvoin mielivaltaisten avaruuksien kanssa; sen sijaan edellytetään, että avaruudet täyttävät ylimääräisiä rajoitteita, kuten että ne ovat kompaktisti generoituja, Hausdorff-avaruuksia tai CW-kompleksi.

Samoin kuin edellä, ”kartta” on jatkuva funktio, johon mahdollisesti liittyy joitain ylimääräisiä rajoitteita.

Usein työskennellään teräväkärkisten avaruuksien parissa — eli avaruuksien parissa, joilla on ”erottuva piste”, jota sanotaan peruspisteeksi. Teräväkärkinen kartta on tällöin kartta, joka säilyttää peruspisteet; eli se lähettää toimialueen peruspisteen koodialueen peruspisteeseen. Sen sijaan vapaa kartta on sellainen, jonka ei tarvitse säilyttää peruspisteitä.

HomotopiaEdit

Merkitään I:llä yksikköväliä. I:llä indeksoitu karttojen perhe h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\to Y}

kutsutaan homotopiaksi h 0:sta {\displaystyle h_{0}}

kohteeseen h 1 {\displaystyle h_{1}}

jos h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

on kartta (esim. sen on oltava jatkuva funktio). Kun X, Y ovat pistemäisiä avaruuksia, h t {\displaystyle h_{t}}

vaaditaan säilyttämään peruspisteet. Homotopian voidaan osoittaa olevan ekvivalenssisuhde. Annetaan pistemäinen avaruus X ja kokonaisluku n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, olkoon π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

ovat (pistemäisestä) n-pallosta S n {\displaystyle S^{n}\to X}

peräisin olevien (teräväkärkisestä) n-pallosta S n {\displaystyle S^{n}}} perustuvien karttojen homotyyppiluokat.

X:ään. Kuten käy ilmi, π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)} on π n ( X ).

ovat ryhmiä; erityisesti π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

kutsutaan X:n fundamentaaliryhmäksi.

Jos halutaan mieluummin työskennellä pisteavaruuden sijasta avaruuden kanssa, on olemassa fundamentaaligroupoidin (ja korkeampien varianttien) käsite: määritelmän mukaan avaruuden X fundamentaaligroupoidi on kategoria, jossa objektit ovat X:n pisteitä ja morfismit polkuja.

Kofibraatio ja fibraatioEdit

Karttaa f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

sanotaan kofibraatioksi, jos annetaan (1) kartta h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

ja (2) homotopia g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\to Z}

, on olemassa homotopia h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

joka laajentaa h 0 {\displaystyle h_{0}}

ja siten, että h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. Jossain löyhässä mielessä se on analoginen injektiivisen moduulin määrittelydiagrammille abstraktissa algebrassa. Yksinkertaisin esimerkki on CW-pari ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; koska monet työskentelevät vain CW-kompleksien kanssa, kofibraation käsite on usein implisiittinen.

Fibraatio Serren merkityksessä on kofibraation kaksoiskäsite: eli kartta p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

on fibraatio, jos annettuna (1) kartta Z → X {\displaystyle Z\to X}

ja (2) homotopia g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, on olemassa homotopia h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

niin että h 0 {\displaystyle h_{0}}

on annettu ja p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Perusesimerkki on peittokartta (itse asiassa fibraatio on peittokartan yleistys). Jos E {\displaystyle E}

on pääasiallinen G-kimppu eli avaruus, jolla on (topologisen) ryhmän vapaa ja transitiivinen (topologinen) ryhmävuorovaikutus, niin projektiokartta p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

on esimerkki fibraatiosta.

Luokitteluavaruudet ja homotopiaoperaatiotMuokkaa

Johdettuna topologiselle ryhmälle G, luokitteluavaruus G:n pääjoukoille (”the” up to equivalence) on avaruus B G {\displaystyle BG}

siten, että jokaiselle avaruudelle X, = {\displaystyle =}

{ pääasiallinen G-kimppu X:ssä } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\,\mapsto f^{*}EG}

joissa

• vasen puoli on karttojen X → B G homotopialuokkien joukko {\displaystyle X\to BG}
  

  ,

• ~ viittaa nippujen isomorfismiin, ja
• = saadaan vetämällä takaisin erotettu nippu E G {\displaystyle EG}
  

  päälle B G {\displaystyle BG}

  

  (jota kutsutaan universaaliksi nipuksi) pitkin karttaa X → B G {\displaystyle X\to BG}

  

  .

Brownin edustettavuusteoreema takaa luokittelevien tilojen olemassaolon.

Spektri ja yleistetty kohomologiaMuokkaa

Ajatusta siitä, että luokitteleva avaruus luokittelee päänippuja, voidaan viedä pidemmälle. Voidaan esimerkiksi yrittää luokitella kohomologialuokkia: annetaan abeelinen ryhmä A (kuten Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

jossa K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

on Eilenberg-MacLane-avaruus. Yllä oleva yhtälö johtaa yleistetyn kohomologiateorian käsitteeseen; eli kontravariantti funktioon avaruuksien kategoriasta abelisten ryhmien kategoriaan, joka täyttää tavallista kohomologiateoriaa yleistävät aksioomat. Kuten käy ilmi, tällaista funktiota ei välttämättä voida esittää avaruudella, mutta se voidaan aina esittää (pistemäisten) avaruuksien sarjalla, jossa on rakennekarttoja, joita kutsutaan spektriksi. Toisin sanoen, yleistetyn kohomologiateorian antaminen on spektrin antamista.

Perusesimerkki spektristä on pallospektri: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }