Homomorfismi

Injektiivinen homomorfismi on vasemmalle peruutettavissa: Jos f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

on f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

jokaiselle x:lle

C:ssä.

, yhteinen lähde g {\displaystyle g}

ja h {\displaystyle h}

. Jos f {\displaystyle f}

on injektiivinen, niin g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}

, ja siten g = h {\displaystyle g=h}

. Tämä todistus toimii paitsi algebrallisille rakenteille, myös mille tahansa luokalle, jonka objektit ovat joukkoja ja nuolet ovat näiden joukkojen välisiä karttoja. Esimerkiksi topologisten avaruuksien kategoriassa injektiivinen jatkuva kartta on monomorfismi.

Todistaaksemme, että päinvastoin, vasemmalle peruutettava homomorfismi on injektiivinen, on hyödyllistä tarkastella vapaata objektia x {\displaystyle x}

. Algebristen rakenteiden joukon ollessa kyseessä vapaa objekti x:lle {\displaystyle x}

on pari, joka koostuu algebrallisesta rakenteesta L {\displaystyle L}

tästä lajikkeesta ja L {\displaystyle L}

:n elementistä x {\displaystyle x}

.

, joka täyttää seuraavan universaalin ominaisuuden: jokaiselle rakenteelle S {\displaystyle S}

ja jokainen alkio s {\displaystyle s}

of S {\displaystyle S}

, on olemassa yksikäsitteinen homomorfismi f : L → S {\displaystyle f:L\to S}

siten, että f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}

. Esimerkiksi joukkojen osalta vapaa objekti x {\displaystyle x}

on yksinkertaisesti { x } {\displaystyle \{x\}}

; puolijoukoille vapaa objekti x {\displaystyle x}

on { x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

, joka puoliryhmänä on isomorfinen positiivisten kokonaislukujen additiivisen puoliryhmän kanssa; monoidien osalta vapaa objekti x:lle {\displaystyle x}

on { 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

, joka monoidina on isomorfinen ei-negatiivisten kokonaislukujen additiivisen monoidin kanssa; ryhmien osalta vapaa objekti x:lle {\displaystyle x}

on ääretön syklinen ryhmä { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x , x 2 , … , x n , … }. , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

joka, ryhmänä, on isomorfinen kokonaislukujen additiivisen ryhmän kanssa; renkaiden osalta vapaa objekti x:lle {\displaystyle x}

} on polynomirengas Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}

vektoriavaruuksien tai -moduulien osalta vapaa objekti on x {\displaystyle x}

on vektoriavaruus tai vapaa moduuli, jonka perustana on x {\displaystyle x}

.

Jos on olemassa vapaa objekti yli x {\displaystyle x}

, niin jokainen vasemmalle peruutettava homomorfismi on injektiivinen: olkoon f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

on vasemmalle peruutettavissa oleva homomorfismi, ja a {\displaystyle a}

ja b {\displaystyle b}

ovat kaksi A:n elementtiä {\displaystyle A}

siten, että f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}

. Vapaan kohteen F {\displaystyle F} määritelmän mukaan.

, on olemassa homomorfismit g {\displaystyle g}

ja h {\displaystyle h}

F:stä {\displaystyle F}

ja A:sta {\displaystyle A}

siten, että g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}

ja h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}

. Koska f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) )

{\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

{\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

, saadaan f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

universaalin ominaisuuden määritelmään sisältyvän yksikäsitteisyyden kautta. Koska f {\displaystyle f}

on vasemmalle peruutettavissa, on g = h {\displaystyle g=h}

, ja siten a = b {\displaystyle a=b}

. Näin ollen f {\displaystyle f}

on injektiivinen.

Vapaan objektin olemassaolo x:llä {\displaystyle x}

varieteelle (ks. myös Vapaa objekti § Olemassaolo): Vapaan objektin muodostamiseksi yli x {\displaystyle x}

, tarkastellaan joukkoa W {\displaystyle W}

rakenteesta x {\displaystyle x}

rakennetuista hyvin muodostetuista kaavoista ja rakenteen operaatioista. Kahden tällaisen kaavan sanotaan olevan ekvivalentteja, jos voidaan siirtyä toisesta toiseen soveltamalla aksioomia (rakenteen identiteettejä). Tämä määrittelee ekvivalenssisuhteen, jos identiteeteille ei aseteta ehtoja, eli jos työskennellään lajikkeen kanssa. Tällöin lajikkeen operaatiot ovat hyvin määriteltyjä W:n ekvivalenssiluokkien joukolle {\displaystyle W}

tälle relaatiolle. On suoraviivaista osoittaa, että tuloksena saatava objekti on vapaa objekti W {\displaystyle W}

.

EpimorfismiEdit

Algebrassa epimorfismit määritellään usein surjektiivisiksi homomorfismeiksi.:134:43 Toisaalta kategoriateoriassa epimorfismit määritellään oikealle kumottaviksi morfismeiksi. Tämä tarkoittaa, että (homo)morfismi f : A → B {\displaystyle f:A\to B}

on epimorfismi, jos mille tahansa parille g {\displaystyle g}

, h {\displaystyle h}

morfismeista B:stä {\displaystyle B}

mihin tahansa muuhun kohteeseen C {\displaystyle C}

, yhtäläisyys g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

merkitsee g = h {\displaystyle g=h}

.

Surjektiivinen homomorfismi on aina oikealle kumottavissa, mutta algebrallisten rakenteiden kohdalla päinvastoin. Nämä kaksi epimorfismin määritelmää ovat kuitenkin ekvivalentteja joukoille, vektoriavaruuksille, abeliaanisille ryhmille, moduuleille (todistus alla) ja ryhmille. Näiden rakenteiden merkitys kaikessa matematiikassa ja erityisesti lineaarialgebrassa ja homologisessa algebrassa voi selittää kahden ei-ekvivalentin määritelmän samanaikaisen olemassaolon.

Algebrallisia rakenteita, joille on olemassa ei-surjektiivisia epimorfismeja, ovat esimerkiksi puoliryhmät ja renkaat. Perustavin esimerkki on kokonaislukujen sisällyttäminen rationaalilukuihin, joka on renkaiden ja multiplikatiivisten puoliryhmien homomorfismi. Molemmille rakenteille se on monomorfismi ja ei-surjektiivinen epimorfismi, mutta ei isomorfismi.

Tämän esimerkin laaja yleistys on renkaan lokalisointi multiplikatiivisella joukolla. Jokainen lokalisaatio on rengasepimorfismi, joka ei yleensä ole surjektiivinen. Koska lokalisoinnit ovat perustavanlaatuisia kommutatiivisessa algebrassa ja algebrallisessa geometriassa, tämä saattaa selittää, miksi näillä aloilla yleensä suositaan epimorfismien määrittelyä oikealle kumottavina homomorfismeina.

Jakautunut epimorfismi on homomorfismi, jolla on oikea käänteisluku ja joka siten on itse tuon toisen homomorfismin vasen käänteisluku. Toisin sanoen homomorfismi f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

on jaettu epimorfismi, jos on olemassa homomorfismi g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}

siten, että f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operaattorinimi {Id} _{B}.}

Jakautunut epimorfismi on aina epimorfismi, molemmissa epimorfismin merkityksissä. Joukoille ja vektoriavaruuksille jokainen epimorfismi on halkaistu epimorfismi, mutta tämä ominaisuus ei päde useimpiin yleisiin algebrallisiin rakenteisiin.

Yhteenvetona on

halkaistu epimorfismi ⟹ epimorfismi (surjektiivinen) ⟹ epimorfismi (oikealle kumottavissa) ; {\displaystyle {\text{hajautettu epimorfismi}\implies {\text{epimorfismi (surjektiivinen)}}\\implies {\text{epimorfismi (oikealle kumottavissa)};}

jälkimmäinen implikaatio on ekvivalenssi joukoille, vektoriavaruuksille, moduuleille ja abeliaanisille ryhmille; ensimmäinen implikaatio on ekvivalenssi joukoille ja vektoriavaruuksille.

Epimorfismin kahden määritelmän ekvivalenssi

Let f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}

on homomorfismi. Haluamme todistaa, että jos se ei ole surjektiivinen, se ei ole oikealle peruutettavissa.

joukkojen tapauksessa olkoon b {\displaystyle b}

B:n {\displaystyle B} alkio.

, joka ei kuulu joukkoon f ( A ) {\displaystyle f(A)}

, ja määritellään g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}

siten, että g {\displaystyle g}

on identiteettifunktio ja että h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}

jokaiselle x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}

paitsi että h ( b ) {\displaystyle h(b)}

on jokin muu B:n alkio {\displaystyle B}

. On selvää, että f {\displaystyle f}

ei ole oikealle peruutettavissa, koska g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

ja g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}

Vektoriavaruuksien, abelisten ryhmien ja moduulien tapauksessa todistus perustuu kokerneleiden olemassaoloon ja siihen, että nollakartat ovat homomorfismeja: Olkoon C {\displaystyle C}

on f {\displaystyle f}:n kokerneli.

, ja g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}

olkoon kanoninen kartta, niin että g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}

. Olkoon h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}

on nollakartta. Jos f {\displaystyle f}

ei ole surjektiivinen, C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}

, ja siten g ≠ h {\displaystyle g\neq h}

(toinen on nollakartta, toinen ei). Näin ollen f {\displaystyle f}

ei ole mitätöitävissä, koska g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

(molemmat ovat nollakartta A:sta {\displaystyle A}

kohteeseen C {\displaystyle C}

).