Homeomorfismi

Topologinen avaruus

Yksi topologian rakenteellisista peruskäsitteistä on tehdä joukosta X topologinen avaruus määrittelemällä kokoelma X:n osajoukkoja T. Tällaisen kokoelman on täytettävä kolme aksioomaa: (1) itse joukko X ja tyhjä joukko ovat T:n jäseniä, (2) minkä tahansa äärellisen määrän joukkojen leikkaus T:ssä on T:ssä, ja (3) minkä tahansa T:n joukkojen kokoelman unioni on T:ssä. T:n joukkoja kutsutaan avoimiksi joukoiksi ja T:tä kutsutaan topologiaksi X:lle. Esimerkiksi reaalilukusuorasta tulee topologinen avaruus, kun sen topologia määritellään kaikkien mahdollisten avointen intervallien – kuten (-5, 2), (1/2, π), (0,√2:n neliöjuuri), …. – yhteenliittymien kokoelmaksi. (Vastaava prosessi tuottaa topologian metriselle avaruudelle.) Muita esimerkkejä joukkojen topologioista esiintyy puhtaasti joukko-opin kannalta. Esimerkiksi joukon X kaikkien osajoukkojen kokoelmaa kutsutaan X:n diskreetiksi topologiaksi, ja kokoelma, joka koostuu vain tyhjästä joukosta ja X:stä itsestään, muodostaa X:n indiskreetin eli triviaalin topologian. Tietty topologinen avaruus synnyttää muita toisiinsa liittyviä topologisia avaruuksia. Esimerkiksi topologisen avaruuden X osajoukko A perii X:ltä topologian, jota kutsutaan suhteelliseksi topologiaksi, kun A:n avoimet joukot katsotaan A:n ja X:n avointen joukkojen leikkauspisteiksi. Topologisten avaruuksien valtava kirjo tarjoaa runsaasti esimerkkejä yleisten teoreemojen perustelemiseksi sekä vastaesimerkkejä väärien olettamusten osoittamiseksi. Lisäksi topologisen avaruuden aksioomien yleisyys antaa matemaatikoille mahdollisuuden tarkastella monenlaisia matemaattisia rakenteita, kuten funktioiden kokoelmia analyysissä, topologisina avaruuksina ja siten selittää niihin liittyviä ilmiöitä uusilla tavoilla.

Topologinen avaruus voidaan määritellä myös vaihtoehtoisella aksioomien joukolla, joka käsittää suljetut joukot, jotka ovat avointen joukkojen täydennyksiä. Topologisten ajatusten varhaisessa tarkastelussa, erityisesti n-ulotteisen euklidisen avaruuden kohteiden osalta, suljetut joukot olivat syntyneet luonnollisesti tutkittaessa äärettömien sarjojen konvergenssia (ks. äärettömät sarjat). Usein on kätevää tai hyödyllistä olettaa topologialle ylimääräisiä aksioomia, jotta voidaan vahvistaa tuloksia, jotka pätevät tietylle topologisten avaruuksien luokalle mutta eivät kaikille topologisille avaruuksille. Yksi tällainen aksiooma edellyttää, että kahden eri pisteen on kuuluttava erillisiin avoimiin joukkoihin. Tämän aksiooman täyttävää topologista avaruutta on alettu kutsua Hausdorffin avaruudeksi.