Hilbertin avaruus

Hilbertin avaruus, matematiikassa esimerkki ääretönulotteisesta avaruudesta, jolla oli suuri vaikutus analyysiin ja topologiaan. Saksalainen matemaatikko David Hilbert kuvasi tämän avaruuden ensimmäisen kerran integraaliyhtälöitä ja Fourierin sarjoja käsittelevässä työssään, joka vei hänen huomionsa vuosina 1902-12.

Lue lisää tästä aiheesta

topologia: Topologian historia

…äärettömänulotteisen Hilbert-avaruuden topologiset ominaisuudet. Nämä ponnistelut ennakoivat uutta topologian aluetta, joka nyt…

Hilbert-avaruuden pisteet ovat reaalilukujen äärettömiä sarjoja (x1, x2, x3, …), jotka ovat neliöllisesti summautuvia, eli joille ääretön sarja x12 + x22 + x32 + … konvergoi johonkin äärelliseen lukuun. Suorassa analogiassa n-ulotteisen euklidisen avaruuden kanssa Hilbertin avaruus on vektoriavaruus, jolla on luonnollinen sisäinen tuote eli pistetuote, joka tarjoaa etäisyysfunktion. Tämän etäisyysfunktion nojalla siitä tulee täydellinen metrinen avaruus ja on siten esimerkki siitä, mitä matemaatikot kutsuvat täydelliseksi sisäproduktiavaruudeksi.

Pian Hilbertin tutkimuksen jälkeen itävaltalais-saksalainen matemaatikko Ernst Fischer ja unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz osoittivat, että neliöllisesti integroitavissa olevia funktioita (funktioita, joiden absoluuttisen arvon neliön integrointi on äärellinen) voidaan myös pitää ”pisteinä” täydellisessä sisäproduktiavaruudessa, joka on ekvivalenttinen Hilbertin avaruuden kanssa. Tässä yhteydessä Hilbert-avaruudella oli merkitystä kvanttimekaniikan kehityksessä, ja se on edelleen tärkeä matemaattinen työkalu soveltavassa matematiikassa ja matemaattisessa fysiikassa.

Analyysissä Hilbert-avaruuden löytäminen aloitti funktionaalianalyysin, uuden alan, jossa matemaatikot tutkivat varsin yleisten lineaaristen avaruuksien ominaisuuksia. Näihin tiloihin kuuluvat täydelliset sisäiset produktiavaruudet, joita nyt kutsutaan Hilbert-avaruuksiksi, nimitystä, jota unkarilais-amerikkalainen matemaatikko John von Neumann käytti ensimmäisen kerran vuonna 1929 kuvaamaan näitä tiloja abstraktilla aksiomaattisella tavalla. Hilbert-avaruus on myös tarjonnut lähteen topologian rikkaille ideoille. Metriavaruutena Hilbertin avaruutta voidaan pitää äärettömän ulottuvuuksisena lineaarisena topologisena avaruutena, ja sen topologisiin ominaisuuksiin liittyviä tärkeitä kysymyksiä esitettiin 1900-luvun alkupuoliskolla. Alun perin tällaisten Hilbert-avaruuksien ominaisuuksien motivoimina tutkijat perustivat 1960- ja 70-luvuilla uuden topologian osa-alueen, jota kutsutaan äärettömän ulottuvuuden topologiaksi.