Gyroid

Gyroid on Schwarzin P- ja D-pintojen assosioituneen perheen ainoa ei-triviaali sulautettu jäsen. Sen assosiaatiokulma D-pintaan nähden on noin 38,01°. Gyroid on samankaltainen kuin lidinoidi. Gyroidin löysi vuonna 1970 NASA:n tutkija Alan Schoen. Hän laski assosiaatiokulman ja antoi vakuuttavan demonstraation monimutkaisista muovimalleista otettujen kuvien avulla, mutta ei esittänyt todisteita sulautuneisuudesta. Schoen totesi, että gyroidissa ei ole suoria viivoja eikä tasosymmetrioita. Karcher antoi vuonna 1989 erilaisen, nykyaikaisemman käsittelyn pinnasta käyttäen konjugoituneen pinnan konstruktiota. Vuonna 1996 Große-Brauckmann ja Wohlgemuth todistivat, että se on upotettu, ja vuonna 1997 Große-Brauckmann esitti gyroidin CMC-vaihtoehdot ja teki lisää numeerisia tutkimuksia minimaalisen ja CMC-gyroidin (constant mean curvature) tilavuusosuuksista.

Gyroidi jakaa avaruuden kahteen vastakkaissuuntaiseen yhtenevään kulkulabyrinttiin. Gyroidilla on avaruusryhmä I4132 (nro 214). Kanavat kulkevat gyroidilabyrinttien läpi (100)- ja (111)-suunnissa; kulkuväylät syntyvät 70,5 asteen kulmassa mihin tahansa kulkuväylään nähden, kun sen läpi kuljetaan, ja niiden kulkusuunta kiertää kanavaa pitkin, mistä nimi ”gyroid” johtuu. Yksi tapa havainnollistaa pintaa on kuvitella P-pinnan ”neliön katenoidit” (jotka muodostuvat kahdesta samansuuntaisessa tasossa olevasta neliöstä, joiden vyötärö on lähes ympyränmuotoinen); neliön reunojen ympäri kiertäminen synnyttää P-pinnan. Assosioituvassa perheessä nämä neliön muotoiset katenoidit ”avautuvat” (samaan tapaan kuin katenoidi ”avautuu” helikoidiksi) muodostaen pyöriviä nauhoja, joista lopulta tulee Schwarz D -pinta. Yhdellä assosiaattiperheen parametrin arvolla kierteiset nauhat sijaitsevat juuri niissä paikoissa, joita tarvitaan sulautuneen pinnan syntymiseen.

Kyroidi on ainoa tunnettu sulautunut kolminkertaisesti jaksollinen minimipinta, jolla on kolminkertaisia risteyksiä ja jossa ei ole heijastussymmetriaviivoja, toisin kuin Andersonin et al. vuonna 1990 tutkimissa viidessä minimipinnassa.

Hyroidilla viitataan jäseneen, joka on Schwarzin P-pinnan assosiaatio-perheessä, mutta itse asiassa gyroidia esiintyy useissa perheissä, jotka säilyttävät pinnan eri symmetriat; kattavampi keskustelu näiden minimaalisten pintojen perheistä ilmestyy teoksessa Kolminkertaisesti jaksolliset minimaaliset pinnat.

Kummallista kyllä, kuten jotkut muutkin kolminkertaisesti jaksolliset minimipinnat, gyroidipinta voidaan approksimoida trigonometrisesti lyhyellä yhtälöllä:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}