Geometrinen todennäköisyys

Seuraavan tyyppisiä ongelmia ja niiden ratkaisutekniikoita tutkittiin ensimmäisen kerran 1700-luvulla, ja yleinen aihe tuli tunnetuksi geometrisena todennäköisyytenä.

• (Buffonin neula) Mikä on todennäköisyys sille, että satunnaisesti lattialle pudotettu neula, joka on merkitty tasaisin välimatkoin yhdensuuntaisilla viivoilla, ylittää yhden viivoista?
• Mikä on yksikköympyrän satunnaisen jousen keskimääräinen pituus? (vrt. Bertrandin paradoksi).
• Millä todennäköisyydellä kolme satunnaista pistettä tasossa muodostavat terävän (pikemminkin kuin tylpän) kolmion?
• Mikä on niiden monikulmioalueiden keskimääräinen pinta-ala, jotka muodostuvat, kun satunnaisesti suunnatut viivat levitetään tasolle?

Matemaattisesta kehityksestä ks. Salomonin suppea monografia.

Sitten 1900-luvun loppupuolella aihe on jakautunut kahdeksi aiheeksi, joilla on eri painotukset. Integraaligeometria sai alkunsa periaatteesta, jonka mukaan matemaattisesti luonnolliset todennäköisyysmallit ovat sellaisia, jotka ovat invariantteja tietyissä muunnosryhmissä. Tässä aihepiirissä korostetaan satunnaispisteistä johdettuihin geometrisiin kohteisiin liittyvien odotusarvojen laskentakaavojen järjestelmällistä kehittämistä, ja sitä voidaan osittain pitää monimuuttujalaskennan kehittyneenä haarana. Stokastisessa geometriassa korostetaan itse satunnaisia geometrisia kohteita. Esimerkiksi: erilaiset mallit satunnaisille viivoille tai tason satunnaisille tesselloinneille; satunnaiset joukot, jotka muodostetaan asettamalla avaruudellisen Poisson-prosessin pisteet (vaikkapa) kiekkojen keskipisteiksi.