Articles /

Gaussin pinta

See also:

Esimerkkejä kelvollisista (vasen) ja virheellisistä (oikea) Gaussin pinnoista. Vasen: Joitakin kelvollisia Gaussin pintoja ovat pallon pinta, toruksen pinta ja kuution pinta. Ne ovat suljettuja pintoja, jotka sulkevat 3D-tilavuuden kokonaan sisäänsä. Oikealla: Joitakin pintoja, joita EI SAA käyttää Gaussin pintoina, kuten levyn pinta, neliön pinta tai puolipallon pinta. Ne eivät sulje 3D-tilavuutta täysin, ja niillä on rajoja (punainen). Huomaa, että äärettömät tasot voivat approksimoida Gaussin pintoja.

Useimmat laskutoimitukset, joissa käytetään Gaussin pintoja, alkavat toteuttamalla Gaussin lakia (sähkölle):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

{\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

{\displaystyle \mathbf {E}{E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

Tällöin Qenc on Gaussin pinnan ympäröimä sähkövaraus.

Tämä on Gaussin laki, joka yhdistää sekä divergenssiteoremin että Coulombin lain.

Pallomainen pintaEdit

Pallomaista Gaussin pintaa käytetään, kun etsitään sähkökenttää tai sähkövirtaa, jonka tuottaa jokin seuraavista:

  • pistevaraus
  • yhdenmukaisesti jakautunut pallomainen varauksen kuori
  • mikä tahansa muu varausjakauma, jolla on pallomainen symmetria

Gaussin pallomainen pinta valitaan siten, että se on keskipisteinen varausjakauman kanssa.

Tarkastellaan esimerkkinä varattua pallonmuotoista kuorta S, jonka paksuus on häviävän pieni, jossa on tasaisesti jakautunut varaus Q ja jonka säde on R. Voimme käyttää Gaussin lakia löytääksemme resultanttisen sähkökentän E suuruuden etäisyydellä r varatun kuoren keskipisteestä. On heti selvää, että pallomaisella Gaussin pinnalla, jonka säde on r < R, ympäröivä varaus on nolla: näin ollen nettovirta on nolla ja sähkökentän suuruus Gaussin pinnalla on myös 0 (antamalla QA = 0 Gaussin laissa, jossa QA on Gaussin pinnan ympäröimä varaus).

Käyttämällä samassa esimerkissä kuoren ulkopuolella olevaa suurempaa Gaussin pintaa, jossa r > R, Gaussin laki saa aikaan nollasta poikkeavan sähkökentän. Tämä määräytyy seuraavasti.

Pallopinnasta S ulos tuleva sähkövirta on:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}

\scriptstyle \partial S\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\!\!\!

\mathbf{E}\cdot d \mathbf{A} = \int\!\!\!\!\!\!\!\!\int_c E dA\cos 0^\circ = E \int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int_S dA \,\!

\int\!\!\!\!\!\!\int_S dA = 4 \pi r^2

mikä merkitsee

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

\Phi_E = E 4\pi r^2

Gaussin lain mukaan vuo on myös

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi_E =\frac{Q_A}{\varepsilon_0}

lopuksi ΦE:n lausekkeen rinnastaminen antaa E-kentän suuruuden paikassa r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{Q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}.

Tämä ei-triviaali tulos osoittaa, että mikä tahansa pallomainen varausjakauma käyttäytyy pistemäisenä varauksena, kun sitä tarkastellaan varausjakauman ulkopuolelta; tämä on itse asiassa Coulombin lain todentaminen. Ja kuten mainittu, mitään ulkopuolisia varauksia ei lasketa.

Lieriömäinen pintaEdit

Lieriömäistä Gaussin pintaa käytetään, kun etsitään sähkökenttää tai vuota, jonka jokin seuraavista tuottaa:

  • äärettömän pitkä yhtenäisen varauksen viiva
  • ääretön yhtenäisen varauksen taso
  • äärettömän pitkä yhtenäisen varauksen sylinteri

Esimerkkinä ”kenttä äärettömän viivavarauksen läheisyydessä” on annettu alla;

Tarkastellaan pistettä P, joka on etäisyydellä r äärettömästä viivavarauksesta, jolla on varaustiheys (varaus pituuden yksikköä kohti) λ. Kuvitellaan suljettu sylinterin muotoinen pinta, jonka pyörimisakseli on viivavaraus. Jos h on sylinterin pituus, niin sylinterin ympäröimä varaus on

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

q = \lambda h

,

jossa q on Gaussin pinnan sisään suljettu varaus. Pintoja a, b ja c on kolme, kuten kuvassa on esitetty. Differentiaalivektorin pinta-ala on dA, kullakin pinnalla a, b ja c.

Suljettu sylinterin muotoinen pinta, jonka keskellä on viivavaraus ja jossa näkyy kaikkien kolmen pinnan differentiaalipinta-alat dA.

Kulkeva vuo koostuu kolmesta kontribuutiosta:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

A {\displaystyle \scriptstyle A\,\!}

\scriptstyle A\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int\!\!\!\!\!\!\int_a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\!\!\int_b\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\!\!\int_c\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}

Pinnoilla a ja b E ja dA ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.Pinnalla c E ja dA ovat samansuuntaiset, kuten kuvassa on esitetty.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A ∫ ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\){{k{³”a\”a ”a”)}

\begin{align}}

Lieriön pinta-ala on

∫ ∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

\int\!\!\!\!\!\!\int_c dA = 2 \pi r h

mikä merkitsee

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

\Phi_E = E 2 \pi r h

Gaussin lain mukaan

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0}

yhtälö ΦE:lle antaa

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}}

E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r}

Gaussin pillerilaatikkoEdit

Tätä pintaa käytetään useimmiten määrittämään sähkökenttä, joka johtuu äärettömästä, tasaisen varaustiheyden omaavasta varauslevystä tai jonkin äärellisen paksuuden omaavasta varauslaatasta. Pillerilaatikko on lieriön muotoinen, ja sen voidaan ajatella koostuvan kolmesta komponentista: lieriön toisessa päässä olevasta levystä, jonka pinta-ala on πR², toisessa päässä olevasta levystä, jonka pinta-ala on yhtä suuri, ja lieriön sivusta. Kunkin pintakomponentin läpi kulkevan sähkövirran summa on verrannollinen pillerilaatikon suljettuun varaukseen, kuten Gaussin laki määrää. Koska levyn lähellä oleva kenttä voidaan approksimoida vakioksi, pillerilaatikko suunnataan siten, että kenttälinjat läpäisevät kentän päissä olevat levyt kohtisuorassa kulmassa ja sylinterin sivu on kenttälinjojen suuntainen.

Leave a Reply