Galois’n teoria

EsihistoriaEdit

Galois’n teoria sai alkunsa symmetristen funktioiden tutkimuksesta – moniarvoisen polynomin kertoimet ovat (merkin mukaan) alkeellisia symmetrisiä polynomeja juurissa. Esimerkiksi (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, missä 1, a + b ja ab ovat alkeispolynomeja, joiden asteet ovat 0, 1 ja 2 kahdessa muuttujassa.

Tämän formalisoi ensimmäisen kerran 1500-luvun ranskalainen matemaatikko François Viète Vièten kaavoissa positiivisten reaalijuurten tapauksessa. 1700-luvun brittiläisen matemaatikon Charles Huttonin mielestä polynomin kertoimien ilmaisemisen juurien avulla (ei vain positiivisten juurien tapauksessa) ymmärsi ensimmäisenä 1600-luvun ranskalainen matemaatikko Albert Girard; Hutton kirjoittaa:

… ensimmäinen henkilö, joka ymmärsi yleisen opin potenssien kertoimien muodostamisesta juurien ja niiden tuotteiden summasta. Hän oli ensimmäinen, joka löysi säännöt minkä tahansa yhtälön juurien potenssien yhteenlaskemiseen.

Tässä mielessä diskriminantti on juurien symmetrinen funktio, joka heijastaa juurien ominaisuuksia – se on nolla, jos ja vain jos polynomilla on moninkertainen juuri, ja kvadraattisille ja kuutiollisille polynomeille se on positiivinen, jos ja vain jos kaikki juuret ovat reaalisia ja erillisiä, ja negatiivinen, jos ja vain jos on pari erillistä kompleksiyhtälön konjugoitua juurta. Katso lisätietoja kohdasta Diskriminantti:Juurten luonne.

Kuutioyhtälön ratkaisi ensimmäisen kerran osittain 1400-1600-luvun italialainen matemaatikko Scipione del Ferro, joka ei kuitenkaan julkaissut tuloksiaan; tämä menetelmä ratkaisi kuitenkin vain yhden tyyppisen kuutioyhtälön. Tämän ratkaisun löysi uudelleen itsenäisesti vuonna 1535 Niccolò Fontana Tartaglia, joka jakoi sen Gerolamo Cardanon kanssa ja pyysi tätä olemaan julkaisematta sitä. Cardano laajensi sen jälkeen ratkaisun lukuisiin muihin tapauksiin käyttäen samankaltaisia perusteluja; katso lisätietoja kohdasta Cardanon menetelmä. Löydettyään del Ferron työn hän katsoi, että Tartaglian menetelmä ei ollut enää salainen, ja niinpä hän julkaisi ratkaisunsa vuonna 1545 ilmestyneessä Ars Magna -teoksessaan. Hänen oppilaansa Lodovico Ferrari ratkaisi kvartaalipolynomin; myös hänen ratkaisunsa sisältyi Ars Magnaan. Tässä kirjassa Cardano ei kuitenkaan esittänyt ”yleistä kaavaa” kuutioyhtälön ratkaisemiseksi, sillä hänellä ei ollut käytössään kompleksilukuja eikä algebrallisia merkintöjä, joilla hän olisi voinut kuvata yleistä kuutioyhtälöä. Nykyaikaisen notaation ja kompleksilukujen avulla tässä kirjassa esitetyt kaavat toimivat yleisessä tapauksessa, mutta Cardano ei tiennyt tätä. Se oli Rafael Bombelli, joka onnistui ymmärtämään, miten kompleksilukujen avulla voidaan ratkaista kaikki kuutioyhtälön muodot.

Vahempi askel oli ranskalais-italialaisen matemaatikon Joseph Louis Lagrangen vuonna 1770 julkaisema teos Réflexions sur la résolution algébrique des équations Lagrangen resoluutiomenetelmässä, jossa hän analysoi Cardanon ja Ferrarin kubiikkien ja kvartiikkien ratkaisua tarkastelemalla niitä juurten permutaatioina, jolloin saatiin alemman asteen apupolynomi, mikä tarjosi yhtenäisen käsityksen ratkaisuista ja loi pohjan ryhmäteorialle ja Galois’n teorialle. Ratkaisevaa on kuitenkin se, että hän ei ottanut huomioon permutaatioiden koostumusta. Lagrangen menetelmä ei ulottunut kvinttiyhtälöihin tai sitä korkeampiin yhtälöihin, koska resoluutiolla oli korkeampi aste.

Kvinttiyhtälöllä oli melkein todistettu, että sillä ei ole yleisiä ratkaisuja radikaalien avulla, ja sen osoitti Paolo Ruffini vuonna 1799, jonka keskeinen oivallus oli käyttää permutaatioryhmiä, ei vain yhtä permutaatiota. Hänen ratkaisussaan oli aukko, jota Cauchy piti vähäisenä, mutta se korjattiin vasta norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin toimesta, joka julkaisi todisteen vuonna 1824 ja perusti näin Abel-Ruffinin lauseen.

Vaikka Ruffini ja Abel totesivat, että yleistä kvinttiä ei voida ratkaista, jotkut erityiset kvintit ovat ratkaistavissa, kuten x5 – 1 = 0, ja tarkan kriteerin, jonka avulla tietty kvintti tai korkeampi polynomi voitiin määritellä ratkaistavaksi tai ratkaisemattomaksi, antoi Évariste Galois, joka osoitti, että se, onko polynomi ratkaistavissa vai ei, vastaa sitä, onko sen juurten permutaatioryhmällä – nykyisin Galois’n ryhmällä – tietty rakenne – nykyisin sanottuna, onko se ratkaistavissa oleva ryhmä. Tämä ryhmä oli aina ratkaistavissa enintään neljännen asteen polynomeille, mutta ei aina vähintään viidennen asteen polynomeille, mikä selittää, miksi korkeammilla asteilla ei ole yleistä ratkaisua.

Galois’n kirjoituksetEdit

Muotokuva Évariste Galois’sta noin 15-vuotiaana

Galois (18-vuotiaana) toimitti vuonna 1830 Pariisin tiedeakatemialle muistion teoriastaan radikaaleilla ratkaistavuudesta; Galois’n tutkielma hylättiin lopulta vuonna 1831, koska se oli liian summittainen ja koska se esitti ehdon yhtälön juurien muodossa yhtälön kertoimien sijasta. Galois kuoli sitten kaksintaistelussa vuonna 1832, ja hänen kirjoituksensa ”Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” (Muistiinpanot radikaalien yhtälöiden ratkaisukelpoisuusehdoista) pysyi julkaisemattomana vuoteen 1846 asti, jolloin Joseph Liouville julkaisi sen eräiden Galois’n omien selitysten kera. Ennen tätä julkaisua Liouville ilmoitti Galois’n tuloksen Akatemialle 4. heinäkuuta 1843 pitämässään puheessa. Allan Clarkin mukaan Galois’n luonnehdinta ”syrjäyttää dramaattisesti Abelin ja Ruffinin työn.”

JälkimainingeissaMuokkaa

Galois’n teoriaa oli tunnetusti vaikea ymmärtää hänen aikalaisilleen, varsinkin sille tasolle, että he pystyivät laajentamaan sitä. Esimerkiksi Liouville jätti vuoden 1846 kommentissaan Galois’n menetelmän ryhmäteoreettisen ytimen täysin huomiotta. Joseph Alfred Serret, joka osallistui joihinkin Liouvillen esitelmiin, sisällytti Galois’n teorian vuonna 1866 (kolmas painos) julkaisemaansa oppikirjaan Cours d’algèbre supérieure. Serretin oppilas Camille Jordan ymmärsi Galois’n teorian vielä paremmin kirjassaan Traité des substitutions et des équations algébriques vuodelta 1870. Ranskan ulkopuolella Galois’n teoria pysyi pidempään hämärämpänä. Isossa-Britanniassa Cayley ei ymmärtänyt sen syvyyttä, ja suosituissa brittiläisissä algebran oppikirjoissa Galois’n teoriaa ei edes mainittu ennen kuin vasta paljon vuosisadan vaihteen jälkeen. Saksassa Kroneckerin kirjoitukset keskittyivät enemmän Abelin tulokseen. Dedekind kirjoitti vain vähän Galois’n teoriasta, mutta luennoi siitä Göttingenissä vuonna 1858 osoittaen erittäin hyvää ymmärrystä. Eugen Netton 1880-luvun kirjat, jotka perustuivat Jordanin Traité -teokseen, tekivät Galois’n teorian helpommin lähestyttäväksi laajemmalle saksalaiselle ja amerikkalaiselle yleisölle, samoin kuin Heinrich Martin Weberin algebran oppikirja vuodelta 1895.