Differentiaaligeometria

Differentiaaligeometria, matematiikan haara, joka tutkii käyrien, pintojen ja moninaisuuksien (pintojen korkeampiulotteiset analogit) geometriaa. Tieteenala on saanut nimensä siitä, että se käyttää differentiaalilaskennan ideoita ja tekniikoita, vaikka moderni oppiaine käyttää sen sijaan usein algebrallisia ja puhtaasti geometrisia tekniikoita. Vaikka perusmääritelmät, merkinnät ja analyyttiset kuvaukset vaihtelevat suuresti, seuraavat geometriset kysymykset ovat vallitsevia: Miten mitataan käyrän kaarevuutta pinnan sisällä (intrinsic) ja ympäröivässä avaruudessa (extrinsic)? Miten pinnan kaarevuutta voidaan mitata? Mikä on pinnan sisällä lyhin reitti pinnan kahden pisteen välillä? Miten pinnan lyhin polku liittyy suoran käsitteeseen?

Britannica-tietokilpailu

All About Math-tietokilpailu

Algebraopettajasi oli oikeassa. Tulet käyttämään matematiikkaa valmistumisen jälkeen – tähän tietokilpailuun! Katso, mitä muistat koulusta, ja ehkä opit samalla muutaman uuden faktan.

Vaikka käyriä oli tutkittu jo antiikista lähtien, laskennan keksiminen 1600-luvulla avasi mahdollisuuden tutkia monimutkaisempia tasokäyriä – kuten ranskalaisen matemaatikon René Descartesin (1596-1650) ”kompassinsa” avulla tuottamia käyriä (ks. Geometrian historiaa: kartesiolainen geometria). Erityisesti integraalilaskennan avulla saatiin yleiset ratkaisut ikivanhoihin ongelmiin, jotka koskivat tasokäyrien kaaren pituuden ja tasokuvioiden pinta-alan määrittämistä. Tämä puolestaan avasi mahdollisuuden tutkia käyrät ja pinnat avaruudessa – tutkimus, joka oli differentiaaligeometrian alku.

Joitakin differentiaaligeometrian perusajatuksia voidaan havainnollistaa kaistaleella, joka on spiraalimainen kaistale, jonka insinöörit ovat usein suunnitelleet antaakseen rakenteellista tukea suurille metallisylintereille, kuten savupiipuille. Rako voidaan muodostaa leikkaamalla rengasmainen kaistale (kahden samankeskisen ympyrän välinen alue) litteästä teräslevystä ja taivuttamalla se sitten spiraaliksi, joka kiertyy spiraalimaisesti sylinterin ympärille, kuten kuvassa on esitetty. Mikä olisi rengassäteen säde r, jotta saadaan paras sovitus? Differentiaaligeometria tarjoaa ratkaisun tähän ongelmaan määrittelemällä tarkan mitan käyrän kaarevuudelle; sen jälkeen r:ää voidaan säätää, kunnes rengasreunan sisäreunan kaarevuus vastaa spiraalin kaarevuutta.

Tärkeä kysymys jää avoimeksi: Voidaanko rengasmainen kaistale taivuttaa venyttämättä niin, että se muodostaa strakeen sylinterin ympärille? Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että pintaa pitkin mitatut etäisyydet (intrinsic) pysyvät muuttumattomina. Kahden pinnan sanotaan olevan isometrisiä, jos toinen pinta voidaan taivuttaa (tai muuntaa) toiseksi muuttamatta sisäisiä etäisyyksiä. (Koska esimerkiksi paperiarkki voidaan rullata putkeksi venymättä, arkki ja putki ovat ”paikallisesti” isometrisiä – vain paikallisesti, koska paperin kaksi reunaa yhdistämällä syntyy uusia, mahdollisesti lyhyempiä reittejä). Näin ollen toinen kysymys kuuluu seuraavasti: Ovatko rengasmainen kaistale ja kaistale isometriset? Tähän ja vastaaviin kysymyksiin vastaamiseksi differentiaaligeometriassa kehitettiin pinnan kaarevuuden käsite.