Barykeskuskoordinaatit

Cevan teoreemaa koskevan keskustelun lopussa päädyimme siihen johtopäätökseen, että mille tahansa ΔABC:n sisäpuolella olevalle pisteelle K on olemassa kolme sellaista massaa wA, wB ja wC, että jos ne sijoitetaan kolmion vastaaviin kärkipisteisiin, niiden massojen massakeskipiste (barykeskipiste) on sama kuin piste K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) määritteli (1827) wA:n, wB:n ja wC:n K:n barykeskikoordinaateiksi. (On mahdollista yleistää ja tarkastella myös negatiivisia massoja kolmion ulkopuolisten pisteiden osalta. Tämä ei ole tarkoitukseni kannalta tarpeellista). Määriteltyinä barysentriset koordinaatit eivät ole yksikäsitteisiä. Massoilla kwA, kwB ja kwC on täsmälleen sama barykeskipiste millä tahansa k > 0. Näin ollen barykeskikoordinaatit ovat eräs yleisten homogeenisten koordinaattien muoto, jota käytetään monilla matematiikan aloilla (ja jopa tietokonegrafiikassa). Yhdellä lisäehdolla

barysentriset koordinaatit määritellään yksikäsitteisesti jokaiselle kolmion sisällä olevalle pisteelle. (Barykeskikoordinaatteja, jotka täyttävät (*), kutsutaan areaalikoordinaateiksi, koska jos oletetaan, että ΔABC:n pinta-ala on 1, painot w ovat yhtä suuret kuin kolmioiden KBC, KAC ja KAB pinta-alat). Koska minkä tahansa kahden pisteen painopiste sijaitsee yhdistävällä segmentillä, wA = 0 BC:n pisteille, wB = 0 AC:n pisteille ja wC = 0 AB:n pisteille. Pisteiden A,B,C koordinaatit ovat (1,0,0), (0,1,0) ja (0,0,1).

Tavanomainen tapa määritellä kolmen pisteen, joilla on määrätyt massat (sanotaan tällaisia pisteitä aineellisiksi), barykeskipiste on ensin sijoittaa minkä tahansa kahden pisteen massojen summa niiden barykeskipisteeseen. Nyt toistetaan sama (1-ulotteinen) operaatio parittamalla uusi ja kolmas jäljellä oleva piste. (Argumentti on virallistettu affiinisessa geometriassa. Pidän keskustelun mieluummin intuitiivisena). Jos oletetaan (*), että jos wA pidetään kiinteänä, niin myös summa wB + wC pysyy kiinteänä. Tästä seuraa, että B:n ja C:n barykeskipisteiden D ja D’ kahdelle mahdolliselle sijainnille DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. KK’ on siis BC:n suuntainen. Toisin sanoen yhtälö wA = const kuvaa BC:n suuntaisia suoria. Kuten jo totesimme, BC:n yhtälö on wA = 0. Samanlainen suhde on wB:n ja AC:n sekä wC:n ja AB:n välillä.

Jos Mb ja Mc ovat AC:n ja AB:n keskipisteet, MbMc:n yhtälö on wA = 1/2. Vastaavasti MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} ja MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Katsotaanpa oikealla olevaa diagrammia. Sinisessä kolmiossa kaikki kolme koordinaattiaovat pienempiä kuin 1/2. Siksi niiden binäärimuotoisen esityksen ensimmäinen numero on nolla. Punaisessa kolmiossa kaksi koordinaattia on pienempi kuin 1/4, kun taas kolmas on 1/2:n ja 3/4:n välillä. Siksi punaisissa kolmioissa kaikkien kolmen koordinaatin toinen binääriluku on nolla. Tämä johtaa Treman poistomenetelmään Sierpinskin tiivisteen rakentamiseksi ja antaa vihjeen sen kuvaukseen barysentrisissä koordinaateissa.

Barysentriset koordinaatit syntyvät luonnollisesti aina, kun muuttuvilla suureilla on vakiosumma. Kolmen lasin ongelma, jossa kaadetaan vettä yhdestä lasista toiseen epärealistisen olettamuksen vallitessa, että prosessissa ei roisku yhtään vesipisaraa, on tästä selvä esimerkki. Ongelma havainnollistaa kauniisti barysentristen koordinaattien käsitettä.

Barykeskus ja barykeskikoordinaatit

1. 3D-nelikulmio – arkkuongelma
2. Barykeskikoordinaatit
3. Barykeskikoordinaatit: a Tool
4. Barycentric Coordinates and Geometric Probability
   • Stick Broken Into Three Pieces (Trilinear Coordinates)
   • Stick Broken Into Three Pieces (Cartesian Coordinates)
5. Ceva’s Theorem
6. Determinantit, Area, ja barysentriset koordinaatit
7. Maxwellin teoreema painopisteen kautta
8. Nelikulmion bimedianssit
9. Cevan ja Menelaoksen lauseiden samanaikainen yleistys
   • Cevan ja Menelaoksen lauseet, havainnollistettu yleistys
10. Kolmen lasin arvoitus
11. Van Obelin teoreema ja barysentriset koordinaatit
12. 1961 IMO, ongelma 4. Harjoitus barysentrisistä koordinaateista
13. Monikulmion keskipisteet
14. Painopiste ja aineellisten pisteiden liike
15. Isotoominen vastavuoroisuus
16. Affiininen Barykeskipisteen ominaisuus
17. Ongelma suorassa samankaltaisuudessa
18. Ympyrät barykeskikoordinaatistossa
19. Cevian kolmion barykeskipiste
20. Ympyrän yhteneväiset säikeet, Yhtä kalteva

|Yhteys|||Etusivu|||Sisältö|||Geometria|