Teoría de la homotopía

Espacios y mapasEditar

En la teoría de la homotopía y la topología algebraica, la palabra «espacio» denota un espacio topológico. Para evitar patologías, rara vez se trabaja con espacios arbitrarios; en su lugar, se requiere que los espacios cumplan con restricciones adicionales, como ser generados de forma compacta, o Hausdorff, o un complejo CW.

En la misma línea que lo anterior, un «mapa» es una función continua, posiblemente con algunas restricciones adicionales.

A menudo, se trabaja con un espacio apuntado – es decir, un espacio con un «punto distinguido», llamado punto base. Un mapa punteado es entonces un mapa que preserva los puntos base; es decir, envía el punto base del dominio al del codominio. En cambio, un mapa libre es aquel que no necesita preservar los puntos base.

HomotopíaEditar

Denotemos que I denota el intervalo unitario. Una familia de mapas indexados por I, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\a Y}

se llama homotopía de h 0 {\displaystyle h_{0}}

a h 1 {{displaystyle h_{1}}

si h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

es un mapa (por ejemplo, debe ser una función continua). Cuando X, Y son espacios punteados, el h t {{displaystyle h_{t}}

deben preservar los puntos base. Se puede demostrar que una homotopía es una relación de equivalencia. Dado un espacio punteado X y un entero n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, sea π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}

sean las clases de homotopía de los mapas de base S n → X {\displaystyle S^{n}\a X}

de una n-esfera (punteada) S n {\displaystyle S^{n}}

a X. Resulta que π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

son grupos; en particular, π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

se denomina grupo fundamental de X.

Si se prefiere trabajar con un espacio en lugar de con un espacio puntiforme, existe la noción de grupito fundamental (y variantes superiores): por definición, el grupito fundamental de un espacio X es la categoría donde los objetos son los puntos de X y los morfismos son caminos.

Cofibración y fibraciónEditar

Un mapa f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

se llama cofibración si dado (1) un mapa h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\a Z}

y (2) una homotopía g t : A → Z {pantalla g_{t}:A\a Z}

, existe una homotopía h t : X → Z {pantalla h_{t}:X\Na Z}

que extiende h 0 {pantalla h_{0}}

y tal que h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. En cierto sentido, es un análogo del diagrama de definición de un módulo inyectivo en el álgebra abstracta. El ejemplo más básico es un par CW ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; como muchos trabajan sólo con complejos CW, la noción de cofibración suele estar implícita.

Una fibración en el sentido de Serre es la noción dual de una cofibración: es decir, un mapa p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

es una fibración si dado (1) un mapa Z → X {\displaystyle Z\to X}

y (2) una homotopía g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, existe una homotopía h t : Z → X {pantalla h_{t}:Z{a X}

tal que h 0 {pantalla h_{0}}

es la dada y p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Un ejemplo básico es un mapa de cobertura (de hecho, una fibración es una generalización de un mapa de cobertura). Si E

es un haz G principal, es decir, un espacio con una acción de grupo (topológica) libre y transitiva de un grupo (topológico), entonces el mapa de proyección p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

es un ejemplo de fibración.

Espacios clasificatorios y operaciones de homotopíaEditar

Dado un grupo topológico G, el espacio clasificatorio para los principales paquetes G («los» hasta la equivalencia) es un espacio B G {\displaystyle BG}

tal que, para cada espacio X, = {\displaystyle =}

{bundle G principal sobre X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\mapsto f^{*}EG}

donde

• el lado izquierdo es el conjunto de clases de homotopía de los mapas X → B G {{displaystyle X\to BG}
  

  ,

• ~ se refiere al isomorfismo de haces, y
• = viene dado por el pull-back del haz distinguido E G {{displaystyle EG}
  

  sobre B G {\displaystyle BG}

  

  (llamado haz universal) a lo largo de un mapa X → B G {\displaystyle X\a BG}

  

  .

El teorema de representabilidad de Brown garantiza la existencia de espacios clasificatorios.

Espectro y cohomología generalizadaEditar

La idea de que un espacio clasificador clasifica haces principales puede llevarse más allá. Por ejemplo, se podría intentar clasificar las clases de cohomología: dado un grupo abeliano A (como Z }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

donde K ( A , n ) {\\nmuestra K(A,n)}

es el espacio de Eilenberg-MacLane. La ecuación anterior conduce a la noción de una teoría de cohomología generalizada; es decir, un functor contravariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface los axiomas que generalizan la teoría de cohomología ordinaria. Resulta que tal functor puede no ser representado por un espacio, pero siempre puede ser representado por una secuencia de espacios (puntuales) con mapas de estructura llamados espectro. En otras palabras, dar una teoría de cohomología generalizada es dar un espectro.

Un ejemplo básico de espectro es el espectro de una esfera: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }