Teoría de Galois
PrehistoriaEditar
La teoría de Galois se originó en el estudio de las funciones simétricas – los coeficientes de un polinomio mónico son (hasta el signo) los polinomios simétricos elementales en las raíces. Por ejemplo, (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, donde 1, a + b y ab son los polinomios elementales de grado 0, 1 y 2 en dos variables.
Esto fue formalizado por primera vez por el matemático francés del siglo XVI François Viète, en las fórmulas de Viète, para el caso de raíces reales positivas. En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton, la expresión de los coeficientes de un polinomio en términos de las raíces (no sólo para las raíces positivas) fue comprendida por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard; Hutton escribe:
… la primera persona que comprendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero que descubrió las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.
En este sentido, el discriminante es una función simétrica en las raíces que refleja propiedades de las mismas – es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple, y para los polinomios cuadráticos y cúbicos es positivo si y sólo si todas las raíces son reales y distintas, y negativo si y sólo si hay un par de raíces complejas conjugadas distintas. Véase Discriminante:Naturaleza de las raíces para más detalles.
El cúbico fue resuelto parcialmente por primera vez por el matemático italiano del siglo XV-XVI Scipione del Ferro, que sin embargo no publicó sus resultados; este método, sin embargo, sólo resolvía un tipo de ecuación cúbica. Esta solución fue redescubierta de forma independiente en 1535 por Niccolò Fontana Tartaglia, que la compartió con Gerolamo Cardano, pidiéndole que no la publicara. Cardano la extendió a otros muchos casos, utilizando argumentos similares; véase más detalles en el método de Cardano. Tras el descubrimiento del trabajo de del Ferro, consideró que el método de Tartaglia ya no era secreto, por lo que publicó su solución en su Ars Magna de 1545. Su alumno Lodovico Ferrari resolvió el polinomio cuártico; su solución también se incluyó en Ars Magna. En este libro, sin embargo, Cardano no proporcionó una «fórmula general» para la solución de una ecuación cúbica, ya que no disponía de los números complejos ni de la notación algebraica para poder describir una ecuación cúbica general. Con la ventaja de la notación moderna y los números complejos, las fórmulas de este libro funcionan en el caso general, pero Cardano no lo sabía. Fue Rafael Bombelli quien logró entender cómo trabajar con los números complejos para resolver todas las formas de ecuación cúbica.
Un paso más fue el trabajo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations del matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange, en su método de los resolventes de Lagrange, donde analizó la solución de Cardano y Ferrari de las cúbicas y cuárticas considerándolas en términos de permutaciones de las raíces, lo que dio lugar a un polinomio auxiliar de grado inferior, proporcionando una comprensión unificada de las soluciones y sentando las bases para la teoría de grupos y la teoría de Galois. Sin embargo, lo más importante es que no consideró la composición de las permutaciones. El método de Lagrange no se extendió a las ecuaciones quínticas o superiores, porque el resolvente tenía un grado más alto.
El quíntico casi se demostró que no tiene soluciones generales por radicales por Paolo Ruffini en 1799, cuya idea clave fue utilizar grupos de permutación, no sólo una sola permutación. Su solución contenía una brecha, que Cauchy consideró menor, aunque ésta no fue remendada hasta el trabajo del matemático noruego Niels Henrik Abel, que publicó una prueba en 1824, estableciendo así el teorema Abel-Ruffini.
Mientras que Ruffini y Abel establecieron que la quíntica general no podía resolverse, algunas quínticas particulares sí pueden resolverse, como x5 – 1 = 0, y el criterio preciso por el que se podía determinar si una quíntica dada o un polinomio superior era resoluble o no fue dado por Évariste Galois, que demostró que si un polinomio era soluble o no era equivalente a si el grupo de permutación de sus raíces -en términos modernos, su grupo de Galois- tenía una determinada estructura -en términos modernos, si era o no un grupo soluble-. Este grupo era siempre soluble para los polinomios de grado cuatro o menos, pero no siempre lo era para los polinomios de grado cinco o más, lo que explica que no exista una solución general en grados superiores.
Escritos de GaloisEditar
En 1830 Galois (con 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la resolubilidad por radicales; El trabajo de Galois fue finalmente rechazado en 1831 por ser demasiado esquemático y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois murió entonces en un duelo en 1832, y su trabajo, «Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux», permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas de sus propias explicaciones. Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la Academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. Según Allan Clark, la caracterización de Galois «reemplaza dramáticamente el trabajo de Abel y Ruffini».
SeguimientoEditar
La teoría de Galois era notoriamente difícil de entender para sus contemporáneos, especialmente al nivel en que podían ampliarla. Por ejemplo, en su comentario de 1846, Liouville pasó por alto completamente el núcleo teórico de grupos del método de Galois. Joseph Alfred Serret, que asistió a algunas charlas de Liouville, incluyó la teoría de Galois en su libro de texto Cours d’algèbre supérieure de 1866 (tercera edición). El alumno de Serret, Camille Jordan, tuvo una comprensión aún mejor reflejada en su libro de 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. Fuera de Francia, la teoría de Galois permaneció más oscura durante más tiempo. En Gran Bretaña, Cayley no comprendió su profundidad y los libros de texto populares de álgebra británicos ni siquiera mencionaron la teoría de Galois hasta mucho después del cambio de siglo. En Alemania, los escritos de Kronecker se centraron más en el resultado de Abel. Dedekind escribió poco sobre la teoría de Galois, pero dio una conferencia sobre ella en Göttingen en 1858, demostrando una gran comprensión. Los libros de Eugen Netto de la década de 1880, basados en el Traité de Jordan, hicieron que la teoría de Galois fuera accesible a un público alemán y americano más amplio, al igual que el libro de texto de álgebra de Heinrich Martin Weber de 1895.
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