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Superficie gaussiana

Ver también: Densidad de carga
Ejemplos de superficies gaussianas válidas (izquierda) y no válidas (derecha). Izquierda: Algunas superficies gaussianas válidas son la superficie de una esfera, la superficie de un toro y la superficie de un cubo. Son superficies cerradas que encierran completamente un volumen 3D. A la derecha: Algunas superficies que NO pueden utilizarse como superficies gaussianas, como la superficie del disco, la superficie del cuadrado o la superficie de la semiesfera. No encierran completamente un volumen 3D, y tienen límites (rojo). Tenga en cuenta que los planos infinitos pueden aproximarse a las superficies de Gauss.

La mayoría de los cálculos que utilizan las superficies de Gauss comienzan con la aplicación de la ley de Gauss (para la electricidad):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}={,\}}.

\Phi_E = \\N-,\N-!
\N-oiint

S {\displaystyle \N-scriptstyle S\}!

{\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \N – Estilo de visualización \N – Matriz de la Tierra. \N – A = {\frac {Q_{texto{enc}} {\varepsilon _{0}}.

{{Displaystyle}} {{Mathbf}} {{E}} \N - La historia de la vida en el mundo de los negocios. \mathbf {A} = {\frac {Q_{text{enc}} {{varepsilon _{0}}.\i

Por lo tanto, Qenc es la carga eléctrica encerrada por la superficie gaussiana.

Esta es la ley de Gauss, que combina tanto el teorema de la divergencia como la ley de Coulomb.

Superficie esféricaEditar

Una superficie esférica de Gauss se utiliza cuando se halla el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes:

  • una carga puntual
  • una cáscara esférica de carga uniformemente distribuida
  • cualquier otra distribución de carga con simetría esférica

La superficie esférica de Gauss se elige de manera que sea concéntrica con la distribución de carga.

Como ejemplo, considere una cáscara esférica cargada S de espesor insignificante, con una carga distribuida uniformemente Q y radio R. Podemos utilizar la ley de Gauss para encontrar la magnitud del campo eléctrico resultante E a una distancia r del centro de la cáscara cargada. Es inmediatamente evidente que para una superficie esférica de Gauss de radio r < R la carga encerrada es cero: por lo tanto el flujo neto es cero y la magnitud del campo eléctrico en la superficie de Gauss es también 0 (dejando QA = 0 en la ley de Gauss, donde QA es la carga encerrada por la superficie de Gauss).

Con el mismo ejemplo, utilizando una superficie de Gauss más grande fuera de la cáscara donde r > R, la ley de Gauss producirá un campo eléctrico distinto de cero. Esto se determina de la siguiente manera.

El flujo hacia fuera de la superficie esférica S es:

Φ E = {\displaystyle \_Phi _{E}=\\N- ¡\N!}

\Phi_E = \\N-,\N-!
\oiint

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \N-partial S\N-,\N-!}

\scriptstyle \partial S,\\\\c!

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \…d\Nmathbf {A} =\int _{c}EdA\ccos 0^{circ}=Eint _{c}EdA\ccos 0^{circ}=Eint _{c}EdA\ccos 0^{circ}.

\Nmathbf{E}\Ndot d \Nmathbf{A} = \Nint!\N-int_c E dA\\Ncos 0^\circ = E \Nint!\N-int_S dA,\N-int!

El área de la superficie de la esfera de radio r es

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\N-int _{S}dA=4\pi r^{2}}

\int!\N-int_S dA = 4 \pi r^2

lo que implica

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4pi r^{2}

\Phi_E = E 4\pi r^2

Por la ley de Gauss el flujo es también

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}}}}

\Phi_E =\frac{Q_A}{\varepsilon_0}

finalmente igualando la expresión para ΦE se obtiene la magnitud del campo E en la posición r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}} {cuadra \ rightarrow \quad E={frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}}r^{2}}.

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{varepsilon_0}

E=\frac{Q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}.

Este resultado no trivial muestra que cualquier distribución esférica de carga actúa como una carga puntual cuando se observa desde el exterior de la distribución de carga; esto es de hecho una verificación de la ley de Coulomb. Y, como se ha dicho, cualquier carga exterior no cuenta.

Superficie cilíndricaEditar

Una superficie cilíndrica de Gauss se utiliza cuando se encuentra el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes:

  • una línea infinitamente larga de carga uniforme
  • un plano infinito de carga uniforme
  • un cilindro infinitamente largo de carga uniforme

Como ejemplo «campo cerca de una línea de carga infinita» se da a continuación;

Considere un punto P a una distancia r de una línea de carga infinita que tiene densidad de carga (carga por unidad de longitud) λ. Imaginemos una superficie cerrada en forma de cilindro cuyo eje de rotación es la carga lineal. Si h es la longitud del cilindro, entonces la carga encerrada en el cilindro es

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

q = \lambda h

,

donde q es la carga encerrada en la superficie gaussiana. Hay tres superficies a, b y c como se muestra en la figura. El área del vector diferencial es dA, en cada superficie a, b y c.

Superficie cerrada en forma de cilindro que tiene carga lineal en el centro y que muestra las áreas diferenciales dAde las tres superficies.

El flujo que pasa se compone de las tres contribuciones:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=,\!}

\Phi_E = \\N-,\N-!
\oiint

A {\displaystyle \scriptstyle A\N-,\N-!}

{\iint}

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \…en el que se encuentra la base de datos de la empresa. =\cint \cdot d\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +int _{b} {mathbf} {E} \cdot d\mathbf {A} +int _{c} {{mathbf}} {E} \cdot d\mathbf {A} }

\mathbf{E} ...dd\...en el que se encuentra la base de datos de la empresa. = \int!\cdot d\mathbf{A} \cdot d\mathbf{A} + \int!\N-int_b\Nmathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \cdot d\mathbf{A}

Para las superficies a y b, E y dA serán perpendiculares.Para la superficie c, E y dA serán paralelas, como se muestra en la figura.¡

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\EdAcos 90^{circ}+Eint _{c}EdAcos 0^{circ}+Eint _{c}EdAcos 90^{circ}+Eint _{c}EdAcos 0^{circ}+Eint _{c}EdAcos 0^{circ}=Eint _{c}EdAcos 0^{circ}}.

<begin{align} \Phi_E = \int!\N-int_a E dA\Ncos 90^\circ + \int!\N-int_b E d A \Ncos 90^\circ + \N-int!\N-int_c E d A\Ncos 0^\\circ \N-int = E \N-int!\N-int_c dA\\N-end{align}

El área de la superficie del cilindro es

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\\N-int _{c}dA=2\pi rh}

\int!\N-int_c dA = 2 \pi r h

lo que implica

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

\Phi_E = E 2 \pi r h

Por la ley de Gauss

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={frac {q}{varepsilon _{0}}}}

\Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0}

Equipando para ΦE se obtiene

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}cuadra \franja derecha E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}

E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \N - cuadrado \N - flecha derecha \N - cuadrado E = \frac{lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r}

Pastillero gaussianoEditar

Esta superficie se utiliza más a menudo para determinar el campo eléctrico debido a una hoja infinita de carga con densidad de carga uniforme, o una losa de carga con algún espesor finito. El pastillero tiene una forma cilíndrica, y puede pensarse que consta de tres componentes: el disco en un extremo del cilindro con área πR², el disco en el otro extremo con igual área, y el lado del cilindro. La suma del flujo eléctrico a través de cada componente de la superficie es proporcional a la carga encerrada del pastillero, como dicta la Ley de Gauss. Dado que el campo cercano a la lámina puede aproximarse como constante, el pastillero se orienta de forma que las líneas de campo penetren en los discos de los extremos del campo con un ángulo perpendicular y el lado del cilindro sea paralelo a las líneas de campo.

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