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Simetría gaussiana (matemáticas)

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En matemáticas, cualquier sistema lagrangiano admite generalmente simetrías gauge, aunque puede ocurrir que sean triviales. En física teórica, la noción de simetrías gauge que dependen de funciones de parámetros es una piedra angular de la teoría de campos contemporánea.

Una simetría gauge de una lagrangiana L {\displaystyle L} L se define como un operador diferencial sobre algún haz vectorial E {\displaystyle E} E tomando sus valores en el espacio lineal de simetrías (variacionales o exactas) de L {\displaystyle L} L. Por lo tanto, una simetría gauge de L {\displaystyle L} Ldepende de las secciones de E {pantalla E} E y sus derivadas parciales. Por ejemplo, este es el caso de las simetrías gauge en la teoría de campos clásica. La teoría gauge de Yang-Mills y la teoría de la gravitación gauge ejemplifican las teorías de campo clásicas con simetrías gauge.

Las simetrías gauge poseen las siguientes dos peculiaridades.

  1. Al ser simetrías lagrangianas, las simetrías gauge de una lagrangiana satisfacen el primer teorema de Noether, pero la correspondiente corriente conservada J μ {\displaystyle J^{\mu }} J^{\mu } toma una forma superpotencial particular J μ = W μ + d ν U ν μ {\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }} {displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu }} donde el primer término W μ {\displaystyle W^{\mu }} W^{\mu } desaparece en las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange y el segundo es un término de frontera, donde U ν μ {\displaystyle U^{\nu \mu }} U^{\nu \mu }} se llama superpotencial.
  2. De acuerdo con el segundo teorema de Noether, existe una correspondencia uno a uno entre las simetrías gauge de una lagrangiana y las identidades de Noether que satisface el operador de Euler-Lagrange. En consecuencia, las simetrías gauge caracterizan la degeneración de un sistema lagrangiano.

Nótese que, en la teoría cuántica de campos, un funcional generador no es invariante bajo transformaciones gauge, y las simetrías gauge se sustituyen por las simetrías BRST, que dependen de los fantasmas y actúan tanto sobre los campos como sobre los fantasmas.

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